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Vollständige Induktion 2?

Vollständige Induktion,

Hallo,

Ich habe mich wieder mit dem Prinzip der vollständigen Induktion befasst und habe folgenden Denkfehler: Am Anfang gibt es ja eine Behauptung, die man durch das Einsetzen einer Zahl beweist. Das bedeutet ja, dass man ab diesem Moment sagt, dass die Gleichung XY für eine bestimmte Variable (natürliche Zahl) gilt. Sagen wir Mal, die Voraussetzung ist, dass es beispielsweise für n 1 gilt. Dann setzt man für n, (n + 1) ein und beweist hiermit unter der Voraussetzung, dass die Gleichung für n=1 erfüllbar war, dass die Gleichung auch für den Nachfolger, also zwei erfüllbar ist.

Ab hier habe ich eine Frage: Üblicherweise hört man ja hier auf (die Annahme, dass es für alle natürlichen Zahlen gilt, ist bewiesen). Liegt es hierbei daran, dass wenn man zeigt (durch Umformungen etc), dass man n+1 auf der „anderen“ Seite rekonstruieren kann, dass auch n+2, also auch n+3 n+4 ..-…. rekonstruierbar ist? Oder wie versteht man das? Würde das also auch bedeuten, dass wenn ich (n-1) beweise, dass auch (n-2..) gilt?

Zudem: Verstehe ich das richtig, dass die vollständige Induktion also einer Art Beweissatz ist, der die „Gültigkeit“ einer Lösungsmenge darlegt?

Gibt es eine Möglichkeit nur mit der vollständigen Induktion zu beweisen, für welche Zahlenmengen eine Gleichung gilt (also ohne davor eine Voraussetzung zu haben, dass beispielsweise Gleichung XY für alle natürlichen Zahlen gilt)?

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Diskrete Strukturen?

Hi also hier einmal die Frage:

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360 Studierende haben sich fu ̈r eine Vorlesung eingetragen und mu ̈ssen nun auf 10 U ̈bungen verteilt werden. Um sicherzugehen, dass alle zu einer passendenen Zeit an einer U ̈bung teilnehmen ko ̈nnen, wa ̈hlen alle Studierenden 5 passende U ̈bungen und listen diese absteigend nach ihrer Favorisierung geordnet auf.

Wenn z.B. die U ̈bungen mit den Großbuchstaben A bis J durchnummeriert sind, k ̈onnte z.B. U ̈bung H als favorisierte U ̈bung gew ̈ahlt werden, dann F als zweite Wahl, dann E, dann B, und dann U ̈bung I.

a) Wie viele verschiedene Bewertungen ko ̈nnen von den Studierenden eingereicht werden?

b) Die Regeln haben sich gea ̈ndert, sodass nicht nur 5 passende U ̈bungen ausgewa ̈hlt und aufgelistet werden, sondern auch 2 andere, unpassende U ̈bungen ausgeschlossen werden du ̈rfen. Wie viele Wahlmo ̈glichkeiten gibt es jetzt?

c) Nachdem die Gruppen zugewiesen wurden, sind manche Studierende nicht zufrieden und wollen wechseln. Da sich die Gro ̈ße der U ̈bungsgruppen nicht vera ̈ndern soll, ist das nur mo ̈glich, wenn ein Teilnehmer einer anderen U ̈bungsgruppe bereit ist, zu tauschen. Angenommen, es gibt 10 U ̈bungsgruppen aus jeweils 36 Studierenden, wie viele solcher Tauschpaare ko ̈nnen gebildet werden (d.h. wie viele Mo ̈glichkeiten gibt es, zwei Studierende auszuwa ̈hlen, sodass sie ihre U ̈bungsgruppen tauschen ko ̈nnen)?

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Die A hab ich gelöst.

Bei der B hänge ich noch etwas. Mein erster Ansatz wäre einmal, dass ich sag, jetzt bestehen ja 7 Auswahlmöglichkeiten und dann einfach mit dem Binomialkoeffizienten dann 10 über 7 ausrechne. Die andere Möglichkeit wäre, dass ich erst sage man kann 2 ausschließen das heißt 10 über 2 und die möglichkeiten dann aus 8 5 auszuwählen mit 8 über 5 berrechne, das ergebnis beider Berechnungen multipliziere.

Ich glaube, dass beide Überlegungen falsch sind.

Über Tipps würde ich mich freuen.

Danke

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