Zeigen, dass durch 19 teilbar (vollständige Induktion)?
Grundsätzlich hab ich das mit der vollständigen Induktion ja verstanden, allerdings verzweifle ich grad ein bisschen an dem Beispiel:
3 Antworten
Wo klemmt es denn?
Da muss man beim Induktionsschritt halt ein bisschen rumrechnen,
8^(n+2) + 4 * 3^(3(n+1)-2) =
8 * 8^(n+1) + ( 8 + 19 ) * 4 * 3^(3n-2) =
8 * ( 8^(n+1) + 4 * 3^(3n-2) ) + 19 * 4 * 3^(3n-2)
Was n.V. durch 19 teilbar ist.
Sorry! Deine Antwort war noch nicht sichtbar als ich meine schrieb.
geklemmt hats dabei, dass ich zu blöd war bei der Umformung den 19er zu finden. Danke dir!
Hallo,
das kleinste n, für das diese Aussage gilt, ist n=1.
8^2+4*3^(3-2)=64+12=76.
76:19=4.
Der Induktionsanfang ist damit gezeigt.
Nun ist zu zeigen, daß die Behauptung auch für n+1 stimmt.
Anstelle von n wird n+1 eingesetzt und man erhält nach entsprechender Zusammenfassung:
8^(n+2)+4*3^(3n+1)
Nun dürfen wir die Induktionsvoraussetzung, daß 8^(n+1)+4*3^(3n-2) ohne Rest durch 19 teilbar ist, benutzen.
Die Formel für n+1 sollte also so umgeformt werden, daß der Term aus der Behauptung für n darin vorkommt.
8^(n+2)=8*8^(n+1).
4*3^(3n+1)=4*3^(3n-2)*3^3=4*3^(3n-2)*27.
Jetzt kommt der Trick:
Ersetze 27 durch 19+8:
8*8^(n+1)+4*3^(3n-2)*(19+8)=
8*8^(n+1)+4*3^(3n-2)*19+4*3^(3n-2)*8.
Nun die 8 aus den beiden Termen mit Faktor 8 ausklammern:
8*(8^(n+1)+4*3^(3n-2))+19*4*3^(3n-2).
In der ersten Klammer steht ein Term, der laut Induktionsvoraussetzung durch 19 teilbar ist. Dann ist auch das achtfache von diesem Term durch 19 teilbar.
Dazu wird ein Term addiert, der ein Produkt darstellt, dessen einer Faktor die 19 ist.
Somit ist auch dieser Term durch 19 teilbar. Die Summe zweier durch 19 teilbarer Zahlen ergibt aber ebenfalls wieder eine Zahl, die durch 19 teilbar ist, denn Du könntest die 19 ja wieder ausklammern.
Damit ist der Schritt von n auf n+1 gezeigt und die Behauptung bewiesen.
Herzliche Grüße,
Willy
Beh. ist wahr für n=1.
Ann. Beh. ist wahr für N:
Es ist zu zeigen, dass dann die Aussage für N+1 wahr ist.
Setze für n =N+1 dann ergibt sich nach kleiner Umformung
8 * [ 8^(N+1) + 4 * 3^(3N-2) ] + 19 * 4 * 3^3(N-2)