Wie löse ich eine solche vollständige Induktionsaufgabe?
In dieser Aufgabe geht es um die Anwendung der vollständigen Induktion. Einfache Aufgaben, mit nur einem Summenzeichen kann ich schon lösen. Allerdings wird mir bei diesem Anblick "schwarz vor Augen".
Kann mir da bitte jemand Schritt für Schritt helfen? Angefangen bei der Induktionsannahme.
4 Antworten
Ich weiss nicht wie ihr das macht, wir machen aber immer: Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsschritt. (Achso, müsst ihr unbedingt VI machen, sowie @DerRoll schon geschrieben hat wäre eine Teleskopsumme schneller)
Beim Induktionsanfang schaust du einfach für ein beliebiges n€IN ob die Gleichung stimmt. Am einfachsten wäre natürlich, 0 (falls ihr IN mit 0 definiert habt) oder 1, kannst auch 2 machen, völlig irrelevant. Für n=0 ist das ganze trivial, weil das die leere Summe wäre, ich machs mal für 1:
Induktionsanfang) Sei n=1, dann:
Somit ist die Aussage fur n = 1 wahr. Jetzt die Induktionsvoraussetzung
Induktionsvoraussetzung) Die Aussage ist für n wahr, jetzt muss gezeigt werden: Sie ist ebenfalls wahr für n+1
Jetzt käme dann der Induktionsschritt, wo du einfach für n einfach stattdessen n+1 einsetzt. Dann musst du das ganze so umformen, das du irgendwie wieder deine Induktionsvoraussetzung verwenden kannst. Hilft das soweit?
Hallo,
bei dieser Aufgabe geht es vor allem darum, einige grundlegende Dinge im Umgang mit Summen einzuüben.
Etwas, das Dir immer wieder begegnen wird, ist der Term (-1)^k, der als Faktor vor irgendetwas anderem steht.
Das einzige, das der tut, ist dafür zu sorgen, daß sich von Summand zu Summand das Vorzeichen ändert. Wenn Du (-1) mit einer ungeraden ganzen Zahl potenzierst, egal mit welcher, bekommst Du als Ergebnis -1; potenzierst Du es mit irgendeiner geraden ganzen Zahl, kommt +1 heraus.
Das zweite, das Du hier lernen sollst, ist das Prinzip der sogenannten Teleskopsumme. Meist hast Du es mit zwei Summen zu tun, die bis auf ein paar Summanden alle anderen gemeinsam haben; außer daß sie sich durch ihr Vorzeichen unterscheiden.
Die eine Summe lautet vielleicht 1-3+5-7+...+2n-1-2n+1, die andere dagegen
3-5+7-...-2n-1+2n+1-2n+3.
Wenn diese Summe addiert werden sollen, schreibst Du sie so untereinander, daß Zahlen mit gleichen Beträgen übereinanderstehen.
Wegen der ungleichen Vorzeichen hebt sich dann jedes Paar, das den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen hat, auf, weil -a+a=0, und verschwinden aus der Rechnung.
Die einzigen Summanden, die dann übrigbleiben, sind die, die bei der anderen Summe keinen Partner gefunden haben.
Im Beispiel wäre das die 1 aus der ersten Summe, denn eine Zahl mit dem Betrag 1 taucht in der anderen Summe nicht auf. Dazu kommt noch -2n+3 aus der zweiten Summe, das in der ersten Summe nicht vorkommt, auch nicht mit vertauschtem Vorzeichen. Alle anderen Summanden verschwinden. Das Ergebnis dieser beiden Summen wäre dann 1-2n+3=4-2n.
Nun schreibe mal die ersten und letzten Glieder Deiner beiden Summe mit Pünktchen dazwischen auf und überlege, welche Summanden sich am Ende nicht gegenseitig aufheben. Wenn Du alles richtig gemacht hast, bleibt am Ende lediglich 2n übrig.
Achte auf die unterschiedlichen Indizes der beiden Summen. Womit beginnt und endet die erste Summe, womit die zweite?
Herzliche Grüße,
Willy
Soweit ich sehe steht da, dass man dies durch „schrittweises Nachrechnen“ zeigen soll. Es geht also eher weniger um vollständige Induktion. (Auch wenn man die Identität auch mit vollständiger Induktion zeigen könnte.)
Extrahiere bei der linken Summe den Summanden für ν = 2n+1 und bei der rechten Summe den Summanden für ν = 1. Die verbleibenden Summen kann man dann zusammenfassen, da beide von ν = 2 bis ν = 2n gehen.
Möglicher Rechnung: https://i.imgur.com/kabMUCf.png
ich danke dir sehr für die Rechnung. Ich bin das gerade am nachrechnen und bisher verstehe ich alles sehr gut. Allerdings habe ich eine Frage zu deinem Induktionsschritt. Bei Schritt 2. steht über dem Summenzeichen noch 2n+3 (absolut nachvollziehbar), aber beim darauffolgenden Schritt steht nur noch 2n+1 da (das kann ich nicht nachvollziehen. Was ist mit der 3 passiert? Und warm hat sich dies beim zweiten Summenzeichen nicht geändert? Dort steht nach wie vor 2n+2. Sollte dies nicht auch geändert werden? Es müsste doch alles synchron passieren
Bei der hinteren Summe hat sich das nicht geändert, da ich vergessen habe, das abzuändern. Da müsste eigentlich dann 2n statt 2n+2 bei der oberen Summationsgrenze stehen. Das ist ein Fehler in meinem Lösungsvorschlag.
Bei der Summe von ν = 2 bis ν = 2n+2 geht man alle Fälle...
ν = 2, ν = 3, ν = 4, ..., ν = 2n, ν = 2n+1, ν = 2n+2, ν = 2n+3
... durch und summiert alles auf.
Nun habe ich die letzten beiden Terme für ν = 2n+2 und ν = 2n+3 aus der Summe geholt und hinter die Summe geschrieben. Dafür geht die Summe nur noch bis ν = 2n+1.
Bei der anderen Summe habe ich die Terme für ν = 2n+1 und ν = 2n+2 aus der Summe geholt. Dafür geht die Summe nur noch bis ν = 2n. [Wobei ich beim Aufschreiben des Lösungsvorschlags nicht aufgepasst habe, und versehentlich weiterhin 2n+2 als obere Summationsgrenze geschrieben habe, obwohl dort eigentlich 2n stehen sollte.]
Hinten ans Ende der vorigen Zeile. Das hat nicht mehr in die vorige Zeile gepasst.
Hier eine verbesserte Version: https://www.dropbox.com/s/sbvhmctoj6t2ru1/vollInd2.pdf?dl=0
Danke für die verbesserte Version. Könntestt du mir vllt. noch die letzten 4 Schritte erläutern? wie kommst du bei dem ersten Summenzeichen von -(2n+2)+(2n+3) auf nichts? Also warum fällt das aufeinmal alles weg?
Und bei Summenzeichen zwei, wieso wird aus -(2n+1)+(2n+2) aufeinmal (2n+2)-(2n+2)+(2n+3) (und woher kommt die 3?)
Und natürlich auf das Ergebnis 2n+2 = 2*(n+1)?
Und bei Summenzeichen zwei, wieso wird aus -(2n+1)+(2n+2) aufeinmal (2n+2)-(2n+2)+(2n+ 3)
Weiter in der Mitte der vorigen Zeile steht -(2n+1) und +(2n+3). Das habe ich in diesem Schritt weiter nach hinten getauscht.
Und natürlich auf das Ergebnis 2n+2 = 2*(n+1)?
Die beiden Summen in der vorletzten Zeile ergeben nach Induktionsvoraussetzung 2n. Zusammen mit dem +2 dahinter, erhält man also 2n + 2. Da kann man dann 2 ausklammern, um 2*(n+1) zu erhalten.
Dafür braucht man glaube ich keine vollständige Induktion. Schau malob du über eine Indexverschiebung nicht zu einer Teleskopsumme kommst.
Möglicher Beweis mit vollständiger Induktion: https://www.dropbox.com/s/7z8khd273jrn7oe/vollInd.pdf?dl=0