Vollständige induktion?
Ich habe das Thema vollständige Induktion leider überhaupt nicht verstanden und verstehe nicht wie ich diese Aufgabe löse. Ich wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand bei den Schritten helfen kann!!:)
zeigen sie mit dem Verfahren der vollständigen Induktion:
für fast alle n Element der natürlichen Zahlen gilt : 2^n > n^2
überprüfen Sie dazu zunächst, für welche natürlichen Zahlen n die obige Ungleichung gilt und für welche noch nicht.
Bemerkung: „für fast alle n“ heißt „für alle bis auf endlich viele in der Regel für alle n mit n >m“
ich wäre sehr dankbar , wenn mir jemand helfen kann!! Danke
1 Antwort
Das Prinzip der vollständigen Induktion besagt, dass wenn eine Eigenschaft für eine Zahl N gilt und wenn daraus, dass sie für eine beliebige Zahl n gilt, folgt, dass sie auch für (n+1) gilt, dann gilt diese Eigenschaft für alle Zahlen ab N.
A(N)
A(n) ⇒ A(n + 1)
----
∴ ∀n≥ N: A(n)
Hier wäre der erste Schritt ein N ∈ ℕ zu finden, das die Ungleichung erfüllt. Dieses kann man durch Probieren finden.
Im Induktionsschritt soll aus 2ⁿ > n² gefolgert werden, dass auch 2ⁿ⁺¹ > (n+1)². Dies kann man tun indem man mit einer Seite der zu zeigenden Ungleichung beginnt, diese umformt und dann in einem Schritt die Induktionsvoraussetzung verwendet (Anordnungsaxiome) und dann weiter abschätzt bis man auf die andere Seite der zu zeigenden Ungleichung kommt.