Ungleichung Beweis mit vollständiger Induktion?

Für welche natürlichen Zahlen gilt die Ungleichung 2^n>2n+1 und wie beweise ich das, mit vollständiger Induktion?

Für konstruktive Antworten bin ich dankbar. 😁

Answer 1

[RitterToby08]

Für welche Zahlen es nicht gilt, testest du am besten mit einsetzen (Beginn bei 1 oder 0, je nachdem wie eure nat. Zahlen definiert sind).

Wenn du dann eine Zahl gefunden hast, bei der die Ungleichung gilt, wählst du das als I.A.

Für den I.S. schreibe

$2^{^{n+1}}=2\cdot2^{^n}$ und verwende dann die I.V.

Answer 2

[ohwehohach]

Also für 0 (so man sie zu den natürlichen Zahlen zählt) gilt es nicht, für 1 nicht und für 2 auch nicht. 3 ist die erste Zahl für die das gilt.

Vermutung: Für alle n >= 3.

Induktionsanfang wäre also:

Aus n = 3 folgt:

$2^3=8\ >\ 7\ =\ 2\cdot3\ +\ 1$

Für n+1 gilt:

$2^{\left(n+1\right)}=2^n\ \cdot\ 2\ >\ \left(2n+1\right)\cdot2\ =\ 4n+2\ >\ 2n\ +\ 3\ =\ 2\left(n+1\right)+1$

Das wäre jetzt meine Idee gewesen. Der Schritt

$2^{n\ }\cdot\ 2\ >\ \left(2n\ +1\right)\ \cdot\ 2$

Folgt, da die Annahme für n bereits bewiesen wurde.