Teilbarkeit durch Rest beweisen?
- Zeige dass jede Quadratzahl (d.h. ein Quadrat einer ganzen Zahl) bei Division durch 4 den Rest 0 oder 1 hat.
- Bestimme alle ganzen Zahlen n € Z, für die n² - 8n + 15 durch 8 teilbar ist.
(Hinweis: Ein Beispiel ist kein Beweis!)
Ich hab überlegt, mit welcher Beweisstrategie man am besten rangeht. Vollständige Induktion ist Quatsch, auch mit Widerspruch fällt mir nichts ein.
bei 1. hab ich überlegt, vllt. so ne Art Formel aufzustellen a la
Rest m (2n + 1) mit 2n = k * m + 0 und
Rest m (2n + 1) mi (2n + 1) = k * m + 1
bei 2. habe ich jetzt mal die ersten möglichen Zahlen aufgeführt (1, 7,9,11,13,15,17,23,26,27,29) und bisher leider noch keine Regelmäßigkeit feststellen können.
2 Antworten
Du denkst ein wenig kompliziert, scheint mir.
Unterscheide zwischen geraden und ungeraden Zahlen:
gerade Zahlen können in der Form 2n dargestellt werden. Welchen Rest hat (2n)² bei Division durch 4?
ungerade Zahlen haben die Form (2n+1). Berechne (2n+1)² und bestimme den Rest bei Division durch .
Indem du es einfach ausrechnest!
(2n)² = 4n² -> 4n² /4 = n² -> gerade Zahlen, die man quadriert sind demnach immer durch 4 teilbar, was mit vorangegangener Rechnung gezeigt wurde!
(2n+1)² = 4n² + 4n +1 -> bei Division durch 4 bleibt hier immer Rest 1, da 4n² + 4n durch 4 ohne Rest teilbar ist! Quadriert man also ungerade Zahlen, erhält man also immer eine Zahl mit Rest 1 bei Division durch 4.
Und wenn du bei 2) sorgfältiger gewesen wärest mit deiner Herangehensweise wäre dir sehrwohl eine Gesetzmäßigkeit aufgefallen. Du hast einiges übersehen.
Korrekt, danke euch Leute!
Opps, das ist mir aber peinlich. Ja alle ungeraden Zahlen sind das bei der 2.. SORRY
Du kannst eine Fallunterscheidung bezüglich gerade/ungerade machen (ist dann zwar unkonstruktiv, aber das spielt für dich vermutlich keine Rolle).
Danke. Schon klar, aber mit welcher beweistechnik zeige ich es am besten? ich könnte es jetzt für alle zahlen durchprobieren, aber da reicht mein Papier nicht aus. Widerspruchsbeweis geht auch nicht, weil wie kann ich zeigen, dass nie ein rest > 1 raus kommt, wenn immer einer rauskommt? Induktion macht auch nicht wirklich Sinn, weil n und n+1 schon vergeben sind.