Indirekte Beweise Hilfe?
Hallo wie löse ich diese Aufgaben?
Welche der folgenden Aussagen lassen sich gut mit einem indirekten Beweis zeigen? Begründen Sie kurz, indem Sie die Merkmale der Aufgabe nennen, die für Sie die Entscheidung für einen indirekten Beweis befördert hat. (Hinweis: Sie müssen die Beweise nicht führen!)
i. a ist eine Quadratzahl ⇒ 4a ist eine Quadratzahl
ii. a ist durch 2 teilbar ⇒ a^2 ist durch 2 teilbar
iii. a^2 ist durch 2 teilbar ⇒ a ist durch 2 teilbar
iv. a ist teilbar durch 6 ⇒ a ist teilbar durch 3
v. a ist nicht durch 3 teilbar ⇒ a ist nicht durch 18 teilbar
vi. a teilbar durch 3 ⇒ 4 a teilbar durch 6
b. Wählen Sie eine Behauptung aus und beweisen Sie diese indirekt.
1 Antwort
Ich versuche mal für alles einen Beweis zu erbringen:
- a ist eine Quadratzahl. Ist 4a eine Quadratzahl: wurzel(4a) = 2 * wurzel(a). Da a eine Quadratzahl ist, kann auch davon eine Wurzel gezogen werden, und das heißt, dass die Wurzel von 4a existieren kann, und somit ist 4a eine Quadratzahl
- Wenn a durch zwei teilbar ist, dann ist a gerade,und dann ist auch sein Quadrat durch zwei teilbar, da eine gerade Zahl zum Quadrat gerade ist, und wenn a^2 gerade ist, dann ist es auch durch zwei teilbar.
- Ist a^2 durch zwei teilbar, dann ist a gerade, da eine gerade Zahl entweder aus einem ungeraden und einem geraden Faktor, oder durch zwei geraden Faktoren gebildet werden kann. Da ein Quadrat aus zwei gleichen Faktoren besteht, ist es nur möglich, dass a gerade ist. dadurch ist auch a durch zwei teilbar.
- Ist a teilbar durch 6, dann ist a auch teilbar durch drei, da eine Zahl die durch 6 teilbar ist, eine Zahl ist, die durch drei, und anschließend durch zwei teilbar ist.
- Ist a nicht durch 3 teilbar, ist a dann auch nicht durch 18 teilbar? Eine Zahl die durch 18 teilbar ist, ist eine zahl die entweder durch drei, und anschließend durch 6, oder durch 2 und anschließend durch 9 teilbar ist. in Beiden Fällen muss sie durch drei teilbar sein. Im Ersten steht es schon fest, und im zweiten liegt es daran, dass eine Zahl die durch 9 teilbar ist auch zweimal durch 3 teilbar sin muss. Daher ist eine Zahl die nicht durch drei teilbar ist, auch nicht durch 18 teilbar.
- Wenn a teilbar durch drei ist, dann ist 4a auch teilbar durch 6 teilbar, da wenn a durch 3 teilbar ist, auf jeden Fall 2a durch 6 teilbar ist, und es zum selben Ergebnis kommt. 4a ist dann einfach nur das ergebnis aus 2a durch 6, also aus a durch 3, mal 2.
Drei ist ein indirekter Beweis, da er aussagt, dass das Quadrat nicht aus einem geraden, und einem ungeraden Faktor bestehen kann. Nimm im Notfall einfach den, wenn dir die anderen nicht passen. Was ein indirekter Beweis ist, wurde dir ja bereits erklärt.