lim(1/nullfolge) = unendlich?

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2 Antworten

Jede unbeschränkte Folge ist divergent - vielleicht hilft dir das weiter

Das war mir auch klar xD. Aber trotzdem Danke!

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@gumpo03

Na dann musst du nur noch nachweisen, dass die Folge nach oben nicht beschränkt ist - und fertig ist das Beispiel

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@gumpo03

Hast du eine bestimmte Nullfolge oder möchtest du es für alle Nullfolgen lösen? Ich glaube ich habe eine Lösung für letzteres gefunden

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@ffrancky

Du kannst dir ja mal meinen Lösungsansatz im Komentarberteich unter PWolff ansehen und mir sagen ob man das so machen kann ;)

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@gumpo03

Den Ansatz habe ich nicht 100% nachvollziehen können, aber ich habe mal einen Anstoß in eine andere Richtung. 

Für Beschränktheit nach oben muss ja a(n+1) <= a(n)

wenn du jetzt für a(n) = 1/X(n) und für a(n+1) = 1/X(n+1) einsetzt erhälst du: X(n+1) < X(n). 

Wir wissen dass X(n) eine Nullfolge ist, und X(n+1) nie kleiner als X(n) sein kann.....Ergo: Es existiert keine Schranke nach oben hin

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@ffrancky

Aber bei einer Nullfolge ist X(n+1) kleiner als X(n), da X(n) immer weiter an die 0 heranrückt.

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@gumpo03

Ach, Mist. Ich habe mich vertippt - bin auch nicht mehr der munterste....es muss heißen: ....eingesetzt erhälst du: X(n) < X(n+1).

Wir wissen, dass .... und X(n) nie kleiner als X(n+1) sein kann. Ergo: Es existiert keine obere Schranke.

Tut mir leid. Wenn du es ausrechnest, siehst du es schön

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@ffrancky

Ok nurnoch ganz kurz, weil das wusste ich noch nicht:

Wenn ich 1/x <= 1/y ausrechne ist es das gleiche wie x>y?

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@gumpo03

Ja, einfach beide Seiten mit x*y mutliplizieren --> x*y/x <= x*y/y 

kürzen -->   y <= x   oder eben     x =>y 

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@ffrancky

[0,1,0,1,...] ist auch beschränkt, aber nicht monoton.

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Divergenz einer Folge gegen unendlich bedeutet, dass die Beträge der Folgeglieder über alle Grenzen wachsen.

Genauer:

Zu jedem M ∈ ℝ gibt es ein n₀ ∈ ℕ, sodass für alle n ∈ ℕ, n >= n₀ gilt: |a_n| >= M

Vergleiche diese Definition mit der Definition einer Nullfolge.

Es kann auch sein, dass euer Lehrer einen schwächeren Divergenzbegriff verwendet, bei dem nur unendlich viele Folgeglieder betragsmäßig größer als eine vorgegebene Grenze sein müssen, aber nicht alle.

Diese Art von Divergenz folgt aber aus der, die ich hier verwende.

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Ok, ich weiß schon was Divergenz bedeutet. Ich weiß nur nicht wie ich sie beweisen kann.

Wenn ich zb. folgendes mache:

Sei 1/Xn Beschränkt, dann ist |1/Xn|<=M mit M element R
1<=M*Xn; Xn ist eine Nullfolge, somit gilt |Xn|<a wenn a>0
Ich wähle für a=1/(2M) Somit gilt Xn<1/(2M)
1 <= Xn < 1/2M woraus folgt 1/M<1/(2M) oder 1<1/2

Da das nicht geht, ist die ursprüngliche behauptung bewiesen. Richtig?

PS: Dozent, nicht Lehrer. Ich studiere :)

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@gumpo03

Fast richtig.

Aber bei der Nullfolgen-Eigenschaft fehlt noch eine entscheidende Bemerkung:

X_n ist eine Nullfolge, also gilt für alle a ∈ ℝ, a > 0:  Es gibt ein n_0 ∈ ℕ: für alle n > n0: |X_n| < a

Und eine nicht so wichtige Bemerkung: Daraus folgt, dass es für beliebig großes M ∈ ℝ mindestens ein n ∈ ℕ gibt, sodass |1/X_n| > M ist

Der Rest stimmt.

Je nach Lehrstuhl kann so eine vergessene entscheidende Bemerkung 1/2 bis 2 Punkte kosten.

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