Ist mein Mathe Beweis richtig für Folgen (Analysis 1/ bestimmte divergenz)?
Kann mir jemand helfen, kann niemanden sonst fragen ob mein Beweis richtig wäre.
Zu beweisen ist: Ist (an) eine positive reelle Nullfolge, d.h Lim(n->∞)an=0, so geht (an)^(-1) bestimmt divergent gegen ∞.
Mein Beweis: Wenn (an) eine positiv reelle Nullfolge ist, dann ist (an) kleiner als jedes beliebige positives Epsilon= ε , was heißt das man (an)^(-1), was 1/(an) ist, durch 1/ ε ersetzen kann. Da man nun Epsilon beliebig klein machen kann, kann (an)^(-1), nun beliebig groß werden und da (an)^(-1) nur positive werte hat, kann man dann von einer bestimmten Divergenz gegen Plus Unendlich ausgehen.
2 Antworten
was heißt das man (an)^(-1), was 1/(an) ist, durch 1/ ε ersetzen kann.
Nein. Man kann nicht 1/(an) durch 1/ε „ersetzen“. [Hier fehlt insbesondere, dass dann 1/(an) > 1/ε ist, und nicht etwa 1/(an) = 1/ε oder 1/(an) < 1/ε nach deiner „Ersetzung“ ist.] Besser formuliert: Man kann 1/(an) nach unten durch 1/ε abschätzen.
Da man nun Epsilon beliebig klein machen kann, kann (an)^(-1), nun beliebig groß werden
Warum wird (an)^(-1) dann beliebig groß? Das müsstest du meiner Ansicht nach noch genauer ausführen. Vermutlich meinst du das, da 1/ε beliebig groß wird, wenn man ε beliebig klein macht. Aber das ist ja im Grunde das, was du beweisen möchtest, dass wenn (an) beliebig klein wird, 1/(an) beliebig groß wird. Meiner Ansicht nach, hast du da quasi so eine Art Zirkelschluss formuliert.
Und auch sonst redest du da etwas ungenau von „beliebig klein“ und „beliebig groß“. Insgesamt klingt dein Beweis eher nach ungenauem Geschwafel, statt nach einem Beweis. Und auch das „kann man von einer bestimmten Divergenz ausgehen“ klingt so, als ob das eher eine Annahme wäre, von der man nicht genau wisse, ob es tatsächlich so ist, sondern das eher eine Vermutung ist.
Also insgesamt: Nein, deinen Beweis erachte ich nicht als korrekt.
Hinweis: Es gibt eine Definition... Was bedeutet es (formal korrekt), dass eine Folge gegen +∞ divergiert? Richte dich danach, und versuche das zu zeigen.
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Ich habe jetzt mal selbst einen entsprechenden Beweis formuliert.
Hinweise zu meiner Vorgehensweise, damit du besser nachvollziehen kannst, wie ich darauf gekommen bin...
- Ich habe mir zunächst entsprechende Definitionen in den Kopf gerufen. Diese habe ich auch als Definition 1 und Definition 2 aufgeschrieben. [Für die Bearbeitung einer Übungsaufgabe bzw. einer Aufgabe in einer Klausur würde ich diese Definitionen nicht nochmal extra aufschreiben. Aber ich dachte mir, ich schreibe sie auf, dass du meinen Beweis besser nachvollziehen kannst.]
- Ich möchte zeigen, dass aₙ⁻¹ gegen +∞ divergiert. Dementsprechend orientiere ich mich an der entsprechenden Definition als Zielvorgabe. Entsprechend der Definition muss man zeigen, dass „für alle S“ etwas gilt. Dementsprechend beginne ich den Hauptteil meines Beweises auch mit „Sei S beliebig“ und versuche dann zu zeigen, dass die Definition entsprechend erfüllt werden kann.
- Um die Voraussetzung mit der Nullfolge nutzen zu können, brauche ich ein ε, welches ich verwenden kann. Dieses sollte natürlich irgendwie mit dem, was ich zeigen soll zusammenhängen. [Klar, irgendwie wird die Voraussetzung ja mit dem, was ich daraus folgern soll, zusammenhängen. Sonst bräuchte ich die Voraussetzung ja gar nicht.] Evtl. kommt man dann schnell auf die Idee, dass ε = 1/S eine gute Idee ist. Da jedoch ε > 0 sein muss, aber 1/S theoretisch auch negativ sein könnte [oder im Fall S = 0 nicht definiert sein könnte], brauche ich eine Fallunterscheidung.
Vielen Dank für deine ehrlichen Worte, ich meinte mit dem 1/an mit 1/ ε ersetzen, die Abschätzung nach unten. Ich verstehe aber deinen Beweis, verstehe auch das mir gefehlt hat die Schranke einzubauen die man für den Beweis braucht. Ich kann garnicht sagen wie ich es schätze das du dir soviel aufwand für meine Fragen machst, hab einen schönen Tag noch.
Das ist schon die richtige Argumentation, aber es ist kein formaler Beweis.
Eine Divergenz beweist am am besten durch Widerspruch. Wenn die Folge nicht divergent ist, muß sie nach oben beschränkt sein. D.h. es gibt eine obere Schranke m, so dass an^(-1)<m für alle n.
Jetzt zeigst du, dass du ein ak^(-1) konstruieren kannst, so daß ak^(-1)>m ist. Dieses k holst natürlich aus der Tatsache, daß an gegen Null geht.