Wieso ist diese Folge bestimmt divergent?
Eine Folge a besteht aus einem Bruch. Der Bruch besteht je im Zähler und im Nenner wiederum aus einer Folgen b und c.
Als Schema gilt also a=b/c
Die Folge im Nenner des Bruches, also c, ist eine Nullfolge.
Wieso kann ich bereits mit diesem Wissen sagen, dass die Folge a bestimmt divergent ist?
Ich habe versucht, den Grenzwerte zu bestimmen. Da es sich im Nenner ja um eine Nullfolge handelt, steht dort dann im Prinzip lim(c)=0. Somit wird also durch Null geteilt, was nicht erlaubt ist. Folgt daraus die Divergenz? Zur Berechnung des uneigentlichem Grenzwertes kann die Folge a umgeschrieben werden. So enthält sie im Bruch schließlich keine Nullfolge mehr. Ich soll aber bereits ohne diesen Schritt sagen können, ob die Folge a konvergent ist, oder nicht.
Wenn mir also jemand erklären könnte, weshalb aus einer Nullfolge im Nenner einer Folge immer eine Divergenz folgt, wäre es wirklich exzellent!
1 Antwort
Die Aussage ist Falsch, es lassen sich einfache Gegenbeispiele finden:
Sei b_n = (1/n)
Und c_n= (1/n)
c_n ist eine Nullfolge, der Bruch a_n ist jedoch konstant 1.
(Das ist jetzt das trivialste Beispiel, man kann aber natürlich noch kompliziertere Beispiele konstruieren)
Und selbst wenn es divergiert, so muss es nicht bestimmt divergieren (bestimmte Divergenz bedeutet ja dass die Folge gegen +unendlich geht oder bzw gegen -unendlich)
Wählt man b_n=(-1)^n
Und c_n=1/n
So divergiert die Folge a_n nicht bestimmt, da sie weder von oben als auch von unten beschränkt ist.
Eine Folge a_n konvergiert gegen einen Grenzwert a, wenn fûr jedes Epsilon größer 0 ein natürliches N gibt, sodass für alle n größer als N folgendes gilt:
|a_n-a|<Epsilon
Falls a_n konstant ist dann ist diese Differenz immer 0, somit immer kleiner als jedes Epsilon.
Somit ist das eine Konvergente Folge die gegen a geht.
Danke für deine Antwort!
Spreche ich dann davon, dass a konvergent ist? Immerhin gibt es hier ja keinen Grenzwert, an den sich die Folge unendlich nah annähert, aber nicht berührt? Oder reicht es für die Definition des Grenzwertes bzw. der Konvergenz, dass dieser nicht überschritten, durchaus aber erreicht werden darf?
Gut, dass widerlegt die Ausgangsbehauptung natürlich ohne jeden Zweifel! Tolles Beispiel!