"Teilreihe" divergiert?
Ich hab eine Reihe, welche die folge An aufsummiert. diese Folge ist 1/n falls n ungerade und 1/n^2 falls n gerade.
Somit ist die Teilreihe mit 1/n harmonisch und somit divergent.
Die Teilreihe mit 1/n^2 ist eindeutig konvergent.
was gilt nun für die gesamte Reihe?
3 Antworten
Ich sehe das so: Wenn man eine divergente Reihe auf eine konvergente Reihe summiert, dann müsste die so entstehende Summe ja divergent sein.
Nun ist die Frage ob die Reihe 1/n im unendlichen divergent ist, auch wenn man nur gerade Zahlen einsetzt. Da man ja sowieso ins unendliche geht, kann man die Reihe auch mit "Summe von n=1 bis unendlich (1/2n) beschreiben. Nun zieht man 1/2 aus der Reihe heraus und hat somit die Divergenz dieses Reihenteils nachgewiesen.
Somit wird die Summer der beiden Reihen auch divergent sein.
(Leider ist die Darstellung hier ziemlich mies. Außerdem habe ich die ganzen Sätze nicht mehr so richtig im Kopf. Bei Fragen kann ich versuche sie dir zu beantworten)
Wir teilen unsere Reihe auf in a_n = 1/n und b_n = 1/n^2.
Da alle Terme positiv sind: Wenn die Reihe von A_n konvergent wäre, dann wäre sie auch absolut konvergent, wir dürfen also Summanden vertauschen (daa dürfen wir im Allgemeinen nicht, siehe "Riemannian rearrangement theorem").
Dann ist aber der Grenzwert der Reihe nach der Umordnung gerade der Grenzwert der Reihe von 1/n^2 für n = 2k+1 + der Reihe von 1/n für n = 2k. Erste Reihe ist <= Der Reihe von 1/n^2, was konvergiert, die zweite Reihe ist 1/2 * (Reihe über 1/n), diese Reihe ist aber divergent, was ein Widerspruch ist (Wäre A_n konvergent, könnten wir also auf die Konvergenz der harmonischen Reihe schließen).
LG
Sie geht gegen unendlich.