Ist die geometrische Reihe eine konvergente Majorante für 1/n!?

geometrische Reihe mit $\sum_{n=0}^{unendlich}q^{^{ }n\ }$ mit q = 2/3

und die Reihe 1/n! mit n = 1 bis unendlich

Was ist der Grenzwert der Folge?

Answer 1

[LUKEars]

vielleicht mit vollständiger Induktion?

Behauptung: Ab einem bestimmt n=x gilt für alle n>x: $\left(\frac{2}{3}\right)^n > \frac{1}{n!}$

Sagen wir x sei 3:

Induktionsanfang: $\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27} > \frac{1}{3!}=\frac{1}{6}=\frac{4,5}{27}$ stimmt...

Induktionsvoraussetzung: für n sei die Behauptung bereits bewiesen.

Induktionsschluss: gilt sie dann auch für n+1? $\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} =\left(\frac{2}{3}\right)^n\cdot\frac{2}{3}> \frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}\cdot\frac{1}{n+1}$

Die Frage ist also, ob 1/(n+1) kleiner ist als 2/3, wenn n größer als 3 ist... $2\cdot(n+1)>3$ stimmt... oder?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[steve123987]

Jo passt!

Wie kann ich aus dieser Erkenntnis auf den Grenzwert der Folge schließen?

[LUKEars]

@steve123987

der Grenzwert welcher Folge?

bei 1/(n!) sieht es nach 0 aus... oder?

die Reihe ist e... oder? https://www.wolframalpha.com/input?key=&i=sum_%28n%3D0%29%5Einf+1%2Fn%21

[LUKEars]

@steve123987

müsstest dir mal die Reihenentwicklung von e ansehen... da gibt es dann vielleicht Ähnlichkeiten...

[steve123987]

@LUKEars

Was kann man über die obere Schranke des Grenzwerts sagen?

[steve123987]

@steve123987

Der Grenzwert der geometrischen Reihe ist ja 1/1-q, heißt das, dass dies eine obere Schranke für 1/n! wäre?

[LUKEars]

@steve123987

Der Grenzwert der geometrischen Reihe ist ja 1/1-q, heißt das, dass dies eine obere Schranke für 1/n! wäre?

ja sicher...

wie WolframAlpha auf e gekommen ist, weiß ich nich...

Answer 2

[eterneladam]

Der Summe der Reihe hängt natürlich davon ab, wo du startest, ist es wirklich n=1? Denn die geometrische Reihe hast du ab n=0 genommen. Ab n=0 wäre die Summe e, ab n=1 wäre es e-1. Das kann man aber nicht aus dem Vergleich mit der geometrischen Reihe herleiten.

Answer 3

[ShimaG]

Du wirfst hier ein paar Begriffe durcheinander.

• Reihe: Undendliche Summe.
• Folge: Eine Abbildung von N nach R. Da musst du Folgeglieder haben, die sind bei dir erstmal nicht definiert. Du kannst Partialsummen der Reihe betrachten: a_n := Summe(i=1...n) q^i.
• Grenzwert: Folgen haben Grenzwerte. Ich glaube, du beziehst dich auf die Konvergenz der Partialsummen, woraus Existenz eines Werts der Reihe folgen würde.

Du musst zwei Sachen zeigen:

1. Die geometrische Reihe ist eine Majorante für die Reihe mit den Fakultäten im Nenner.
2. Die geometrische Reihe existiert.

Bei welchem Schritt hast du Probleme? Wo bleibst du stecken?

Comments

[steve123987]

Bei 1.