Cauchysche Folge und Cauchyscher Grenzwertsatz?
Hi, wenn eine Folge eine Cauchyfolge ist, dann ist sie ja konvergent. Eine Cauchyfolge sagt einfach nur aus, dass wenn man eine Folge a_n hat und man n --> unendlich laufen lässt, dass der Abstand zwischen den einzelnen Elementen immer kleiner wird, sodass gilt |a_n - a_m| < ε? Was ist nun der Unterschied zu dem Cauchyschen Grenzwertsatz? Dieser besagt doch auch ob eine Folge konvergent ist. Ist dies nur eine andere Methode, um herauszufinden ob eine Folge eine Cauchyfolge und somit konvergent ist?
3 Antworten
Der Cauchy'sche Grenzwertsatz sagt aus, dass aus
a_n —> a folgt,
(a_1 + ... + a_n) / n —> a
Dieser Grenzwertsatz besagt, dass das arithmetische Mittel dieser konvergenten Folge als Grenzwert existiert. Allerdings kann aus dieser Konvergenz keine Konvergenz von (a_n) im Allgmeinen gefolgert werden (zumindstens sagt der Satz nichts darüber aus).
Über eine Cauchy-Folge hingegen - mit Beachtung der anderen Antworten wie von Schirokko - kann man aussagen, dass sie dann konvergent sein muss.
Hi, wenn eine Folge eine Cauchyfolge ist, dann ist sie ja konvergent.
Nur bei Vollständigkeit.
Der Satz ist mir noch aus dem Studium präsent: Eine Menge ist vollständig, wenn jede Cauchy Folge in dieser Grundmenge konvergiert. Ansonsten habe ich viel vergessen, es ist schon Jahrzehnte her...
Richtig! (Es ist zwar spät, aber falls jemand das hier noch liest...)
R ist vollständig, d.h. alle Cauchyfolgen in R konvergieren. Das ist bspw. bei den rationalen Zahlen nicht der Fall.
Wichtig:
Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge
ABER
Nicht jede Cauchyfolge ist automatisch auch konvergent.
Eine Cauchyfolge ist dann auf jeden Fall konvergent, wenn der Raum in dem die Folge definiert ist vollständig ist. Ich denke das wirst du im nächsten Semester lernen.
Ein Beispiel:
Die Folge (1/n) ist in R\{0} nicht konvergent, da 0 nicht in der Menge enthalten ist (oder: R\{0} ist nicht vollständig!). Sie ist aber eine Cauchyfolge, da die Folgenglieder unendlich nahe an die Null herankommen.
Wie meinst du bei Vollständigkeit?