Wann berechnet man den links- und rechtseitigen Grenzwert (Zahl) und wann limes gegen unendlich ?
3 Antworten
Wann berechnet man den links- und rechtseitigen Grenzwert
Bei Treppenfunktionen kann ein einseitiger Grenzwert sinnvoll sein. Auch bei Ableitungen an den Rändern eines Definitionsbereiches.
Außerdem müssen beide immer gleich sein, damit Stetigkeit vorliegt (bei Funktionen).
und wann limes gegen unendlich
Zum Beispiel um das Globalverhalten von Funktionen zu erfassen. Am häufigsten, um Grenzwerte von Folgen zu erhalten.
Das sind alles nur wenige mögliche Einsatzmöglichkeiten. In so ziemlich jedem Gebiet der Mathematik kann auf den Begriff des Grenzwertes nicht verzichten (egal ob beidseitiger, einseitiger, superior, inferior...).
Kommt auf die Aufgabenstellung an.
Ich nehme aber an du redest über Funktionen, also:
Gebrochen rationale Funktionen besitzen sogenannte Polstellen und Asymptoten, manchmal beides, manchmal nur eins davon. Solche Funktionen erkennst du daran, dass sie eine Definitionslücke haben. Am bekanntesten ist:
Da ist die Definitionsmenge also man kann alle Zahlen außer 0 einsetzen und
Wenn man nun den Grenzwert mit x gegen Unendlich (beidseitig) berechnet, so bekommt man 0 raus. Wenn man nun x gegen 0 macht, so bekommt man unendlich raus.
Bei ganzrationalen Funktionen wird oftmals nach den Grenzwerten ins +-∞ gefragt (zB bei einer Kurvendiskussion). Es kommt also eigentlich nur auf die Aufgabenstellung an.
Falls du was anderes meintest, frag gerne nach. Deine Frage war etwas vage
.... wann man nun limes gegen eine Zhal macht und eine Zahl rausbekommt
also wenn ich mir richtig erinnere dann haben wir das nur gemacht wenn wir die Steigung an einer Stelle berechnet haben.
... wann man nun den rechts- und linkseitigen grenzwert berechnet um herauszufinden, ob man gegen +/- unendlich geht
das tut man meist an der Definitionslücke (siehe das Beispiel oben)
... wann man den limes gegen -/+ unendlich laufen lässt.
Entweder an der Asymptote (oder einfacher ausgedrückt die ,,Wertemengenlücke" also wie oben
oder Kurvendiskussion.
Und natürlich können alle Fälle vorkommen, wenn es die Aufgabenstellung verlangt
Üblicherweise muß man den Grenzwert einer Funktion f(x) gegen einen x-Wert berechnen, wenn die Funktion an der entsprechenden Stelle nicht definiert ist (z.B. 1/x * sin(x) für x gegen Null). Dann kann die Funktion stetig ergänzt werden.
Es gibt auch Funktionen, die an den meisten Stellen innerhalb eines Intervalls durch einen Grenzwert definiert sind. Eine Besonderheit stellen Funktionen dar, die zwar auf diese Weise an jeder Stelle des Intervalls definiert und stetig, aber an keiner differenzierbar sind.
Erstmal vielen lieben Dank.
Mein Problem war, dass ich nicht verstanden habe,
.... wann man nun limes gegen eine Zhal macht und eine Zahl rausbekommt
... wann man nun den rechts- und linkseitigen grenzwert berechnet um herauszufinden, ob man gegen +/- unendlich geht
... wann man den limes gegen -/+ unendlich laufen lässt.