eulersche Zahl?
Guten Abend ,
Wie kann ich zeigen , dass für
lim n gegen unendlich (1+1/n)^n die eulersche Zahl raus kommt?
Vielen Dank
1 Antwort
Hallo,
umschreiben zu e^(n*ln(1+1/n)), den Limes in den Exponenten ziehen, den Exponenten zu [ln(1+1/n)]/(1/n) umschreiben und de l'Hospital anwenden.
Zeigen, daß der Limes für n gegen unendlich im Exponenten gegen 1 geht, denn e^1=e.
Herzliche Grüße,
Willy
Wie kommt man aber darauf , unter dem Bruchstrich 1/n zu schreiben bzw wie kommt man überhaupt auf eine Bruchschreibweise
Damit man de L'Hospital anwenden kann. Man braucht einen Limes der Art 0/0 oder unendlich/unendlich, um die Methode anwenden zu können.
Dankeschön.
Ich habe ja davor n•ln(1+1/n)
Laut dem potenzgesetz kann ich nun das n wieder in den Ln reinziehen und erhalte: ln((1+1/n)^n) richtig?
Wie komme ich aber von dem Ausdruck auf 1/n im Zähler , das habe ich noch nicht ganz verstanden..
Das wäre doch Blödsinn. Es geht doch gerade darum, das n herauszuholen und in der Form 1/n in den Nenner zu bringen.
Dann hast Du [ln(1+1/n)]/(1/n). Nun Zähler und Nenner getrennt ableiten, -1/n² kürzen und für das übriggebliebene 1/(1+1/n) n gegen unendlich gehen lassen.
Das ergibt dann als Grenzwert 1(1+0), also 1 und e^1=e.
Was für mich nicht viel Sinn ergibt ist :
e ist ja 2,71.......
Wenn man den Grenzwert von dem Ausdruck am anfang berechnen will , kann man doch nicht am Ende einfach e^1 rechnen . Man muss ja zuerst auf den Wert 2,71... kommen .Das ist für mich noch unverständlich..
Auf e kommst Du über das Taylorpolynom von f(x)=e^x mit x=1 und x0=0.
1/1!+1/1!+1/2!+...+1/n! konvergiert schnell gegen e.
Vielen Dank
Also den ersten Schritt habe ich verstanden, da die e Funktion und der ln sich wegheben....
Aber wie kommen sie darauf, den Exponenten so umzuschreiben, wie sie es geschrieben haben.....