Ist der Beweis korrekt?
Hallo!
Ich habe versucht, etwas zu beweisen, und ich habe es vielleicht geschafft. Ich glaube aber nicht, da sich die Dinge in der Unendlichkeit anders verhalten sollten. Aber man weiß ja nie. Der Beweis ist für die Irrationalität von Gamma(Euler-Mascheroni-Konstante):
γ = lim(n->∞ H(n)-ln(n))
ln(n) mit n ∈ N, n ≠ 1 ist immer irrational. Beweis:
Wählen wir ein x ∈ N, x ≠ 1
f^-1(e^x) = ln(x)
e ist transzendent, also ist e^x nie eine natürliche Zahl. Oder: ln(x) ∉ N
Und H(n) divergiert, also konvergiert es nicht gegen eine Irrationale Zahl. Und da wir nur rationale Zahlen addieren, bleibt H(n) immer rational.
Und irrational minus rational ist irrational.
Und da wir bei
γ = lim(n->∞ H(n)-ln(n))
eine irrationale Zahl minus eine rationale rechnen, müsste es - denke ich - immer irrational sein.
Ich glaube aber, dass sich das bei der Unendlichkeit anders verhält und der Beweis deshalb falsch ist. Denn Leonhard Euler wäre bestimmt auf so etwas gekommen.
Danke!
2 Antworten
Die Menge der Irrationalen Zahlen ist keine abgeschlossene Menge, das bedeutet, dass konvergente folgen, dessen Folgenglieder alle irrational sind, nicht unbedingt einen irrationalen Grenzwert haben müssen.
Zum Beispiel konvergiert e^(1/n) gegen 1, obwohl alle Folgenglieder irrational sind.
Ändert nichts daran, dass der Grenzwert einer Folge, die nur irrationale Zahlen annimmt, nicht irrational sein muss.
Betrachte infach den Ausdruck
H(n) - (H(n) - e^(1/n))
H(n) divergiert,
H(n)-e^(1/n) ist immer irrational
Der Grenzwert ist aber 1.
Guten Tag!
Ihr Beweis scheint auf den ersten Blick logisch zu sein. Jedoch gibt es bei solchen Beweisen, die mit unendlichen Größen arbeiten, oft subtile Unterschiede und Ausnahmen, die man berücksichtigen muss.
Zunächst einmal ist es korrekt, dass eine Irrationale Zahl minus eine rationale Zahl immer irrational ist. Allerdings müssen wir bei der Arbeit mit unendlichen Größen sorgfältiger sein, da sich Verhaltensmuster und Regeln oft ändern können.
In diesem Fall ist es bekannt, dass die Euler-Mascheroni-Konstante tatsächlich irrational ist. Daher müssen wir überprüfen, ob die Annahme, dass sich das Verhalten bei der Unendlichkeit ändert, richtig ist oder ob es vielleicht einen Fehler in Ihrem Beweis gibt.
Nach Überprüfung Ihres Beweises kann ich feststellen, dass Ihre Annahme, dass H(n) divergieren könnte, nicht korrekt ist. In der Tat konvergiert H(n) gegen die harmlosen Reihe, wodurch Ihr Beweis korrekt ist.
Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass Beweise in der Mathematik immer rigoros überprüft werden müssen, um sicherzustellen, dass sie fehlerfrei sind. Daher ist es gut, dass Sie Ihren eigenen Beweis hinterfragt haben.
Ich hoffe, dass diese Informationen hilfreich für Sie sind.
Vielen Dank!
Aber H(n) ist nicht konvergent. Beweis:
H(n) = 1/1+1/2+1/3+...+1/n
= 1/1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)... > 1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+... = 0,5+0,5+0,5+...
Und diese reihe divergiert.
Hier ist noch ein Beweis:
1/1+1/2+1/3+... = 2/2+2/4+2/6+... =
(1/2+1/2)+(1/4+1/4)+(1/6+1/6)+...
>1/1+1/2 +1/3+1/4 +1/5+1/6+...
Also: 1/1+1/2+1/3+... > 1/1+1/2+1/3+...
Und das geht nicht.
Und ich hoffe, dass chatGPT nächstes Mal die harmonische Reihe von der "harmlosen" Reihe unterscheiden kann. Das wäre noch wichtig zu beachten.
Aber H(n) divergiert doch. Ich dachte, da ist es immer irrational.
Danke!