Quotientenkriterium zum Beweis der Konvergenz einer Reihe?
Hey Leute,
ich soll mit dem Quotientenkriterium beweisen, dass die Reihe von n=1 bis unendlich:
konvergent ist.
Nun habe ich Abs(bn+1 / bn) berechnet und komme auf (n+1)/n, was ja größer als 1 ist. Somit wäre die Reihe jedoch divergent?!?
Laut Wertetabelle muss sie aber konvergent sein.
Wo liegt da mein Fehler?
Danke im voraus
4 Antworten
und 1/e < 1/2, also konvergent
Dein erster Bruch ist bereits falsch. Im "Zählernenner" muß (n+1)^(n+2) stehen. Damit kannst du nicht mehr so leicht kürzen, sondern mußt ein wenig mehr rechnen :-).
Im oberen Bruch fehlt ein n+1, es müsste (n+1)! / (n+1)^(n+2) sein statt
(n+1)! / n^(n+2)
Also, zunächst mal ohne Prüfung, ob deine Rechnung stimmt. Aber dein Ergebnis:
1/n läuft für n -> \infty gegen Null. Somit ist die Reihe konvergent gegen 1.
Als hinreichendes Kriterium: ja
Als notwendiges Kriterium: nein
Man sehe sich zum Beispiel die Reihe mit den konstanten Folgegliedern bn = k.
Hier ist b(n+1)/bn = k/k = 1, dennoch konvergiert die Folge gegen k.
@DerRoll
Das habe ich ja auch geschrieben, dass ich die Berechnung des Ergebnisses nicht kontroliiert habe. Aber leider habe ich mich vertan, denn @gfntom hat natürlich recht, wenn ein Glied einer Summe gegen 1 läuft, läuft noch lange nicht die gesamt Reihe gegen 1. Es kommt aber mit jedem steigenden n eine 1+ dazu, damit ist die Reihe nicht kovergent sondern divergent. Wenn sie nach Aufgabenstelung aber konvergent sien soll, dann ist carl1509s Ergebnis falsch.
Quatsch. Nur weil der Quotient zweier benachbarter Gleider gegen 1 konvergiert, muss nicht die Reihen selbst gegen 1 konvergieren!