Grandis Reihe ist 1/2?

3 Antworten

Dieser "Beweis" ist Humbug. Um den so zu führen nimmt man an, dass die Reihe (Summe soll von k=0 bis unendlich gehen) ∑ (-1)^k=1-1+1-1+... gegen S konvergiert. Auf Basis dieser Annahme bestimmt man dann einen Wert für S. Allerdings ist die Annahme, dass diese Reihe konvergiert schon falsch. Nach der Cauchy-Theorie konvergiert eine Reihe ∑ (-x)^k nur für Betrag(x)<1 und nicht für Betrag(x)=1.

Von daher ist das Cesaro Mittel eigentlich sowieso irrelevant. Da Grandis Reihe divergiert kann man mit dem Cesaro Mittel natürlich keine Aussage machen, wogegen sie konvergiert. Trotzdem kann man das Cesaro Mittel der Folge (-1)^k berechnen und erhält dann 0. Das sagt aber eigentlich nix über Grandis Reihe aus in diesem Fall.

Du kannst für jede konvergente Reihe das Cesaro-Mittel berechnen, aber nicht jede Folge, für die du das Cesaro-Mittel berechnen kannst, ist auch konvergent.

Und (-1)^n ist natürlich divergent. Divergent heißt zunächst einmal nur "nicht konvergent". Was du vermutlich meinst, ist, dass die Folge nicht bestimmt divergent ist. Das Cesaro-Mittel kannst du also bilden.

Der Beweis dagegen ist aber falsch, das hast du richtig erkannt. Umordnen und umklammern, so wie das hier passiert, darfst du eben nur bei (absolut) konvergenten Folgen. Das ist hier also nicht zulässig, Umordnungen führen zu einem neuen Ergebnis.

Nichtsdestotrotz lässt sich das Cesaro-Mittel der Folge (-1)^n korrekt als 1/2 bestimmen. Bei einer konvergenten Folge wäre dieses Cesaro-Mittel gleich der Summe der Folge, da die Folge divergiert, fallen die beiden eben nicht zusammen.

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Wie das?

Betrachtet werde jeweils die Summe m = 1,...,n. Dann ist das Cesàro-Mittel

  • für gerade n ( ∑ (-1)^m) / n = 0 / n = 0 und
  • für ungerade n ( ∑ (-1)^m) / n = 1 / n;

keines der Mittel hat den Wert 1/2;

die Folge der Mittel konvergiert gegen 0 (und nicht gegen 1/2).

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Hier steht etwas zu der Frage: http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-bizarr-summe-aller-natuerlichen-zahlen-ist-negativ-a-944534.html

S heißt in dem folgenden Text A
Wie groß ist diese Summe? Mathematiker würden vielleicht sagen, dass man das nicht ausrechnen kann. Denn wenn wir das Aufsummieren an einer beliebigen Stelle unterbrechen, kommt entweder 0 oder 1 heraus. Das Problem lässt sich jedoch pragmatisch umschiffen, wie es Physiker gern tun: A kann 0 oder 1 sein, beide Varianten sind quasi gleich wahrscheinlich. Also ist die Summe der Mittelwert aus 0 und 1: A = 1/2.

Konvergent einer rekursiv definierten Folge?

Hallo Leute,

heute beschäftige ich mich mit der rekursiv definierten Folge: a0 = 1; an+1 = 1/(1+an). Ich untersuche die Konvergenz dieser Folge und wollte dies mittels Beweis der Beschränktheit und Monotonie machen. Mir ist bereits aufgefallen, dass diese Folge sich in zwei Teilfolgen aufgliedert, eine für gerade und eine für ungerade Folgeglieder. Ich habe auch bereits herausgefunden, dass die Teilfolge für gerade Folgeglieder monoton fallend und die für ungerade monoton wachsend sein müsste, versuche ich jedoch dies zu beweisen, komme ich auf das genaue Gegenteil, sprich, dass gerade monoton wachsen und ungerade monoton fallend sein müsste, was aber defintiv nicht der Fall ist, da ich mir die Folge bereits angesehen habe. Den Beweis der Beschränkheit habe ich übrigens schon hinbekommen, mir geht es nur um die Monotonie.

Danke und frohe Weihnachten allen. :)

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