(Zur vorherigen Frage:) Begriffe in konvexer und konkaver Drache übersichtlich in
http://de.wikipedia.org/wiki/Drachenviereck
Ich verwende die Bezeichnungen dieser Wikipedia-Seite, wenn nicht anders angegeben.
(Zu hier vorgelegten Frage:)
Kommt darauf an, was gegeben ist.
(1) Überlegung für gerade Drachen - die können oder konkav sein (spielt keine Rolle)
Ein gerader Drache besteht aus zwei zueinander spiegelsymmetrischen Teildreiecken Δ = ABC und Δ' = ACD.
Es reicht aus, die beiden Seiten a = AB, b = BC von Δ (oder aber c = CD = b, d = DA = a von Δ') zu kennen, die nicht Diagonale sind, diese zusammenzählen und dann zu verdoppeln.
Wenn ein solche Seitenpaar nicht bekannt ist, kann es sich mit Sinsussatz oder Kosinussatz im entsprechenden Dreieck berechnen lassen. Beispiele:
- α = Winkel BAD, die Diagonale e = AC und die Strecke d = DA sind bekannt.
- Dann lässt sich c = CD mit Kossinussatz berechnen (c² = e² + d² + 2e d cos(α/2) ), und
- der gesuchte Umfang ist u = 2(c+d)
. . .
- α = Winkel BAD, δ = Winkel ADC und die Diagonale e = AC sind bekannt.
- Dann lassen sich c und d mit Sinussatz berechnen (c = e * sin(α/2) / sin(δ); d = e * sin(180° - α/2 -δ) / sin(δ)
. ..
[ Die Diagonalen allein sind nicht ausreichend, weil es unendlich viele konkaven und auch konvexe Drachen gibt, die beide Diagonalen gemeinsam haben, aber verschiedenen Umfang. (Beweis durch gleichzeitige Scherung von Δ und Δ'). ]
(2) Überlegung für (konvexe oder auch konkave) schräge Drachen:
Geht genauso, nur sind die Dreiecke, die Δ und Δ' im geraden Drachen entsprechen, nicht mehr kongruent und sind getrennt voneinander zu berechnen.
Die Tatsache, dass die Gerade (AC) auch bei einem schrägen Drachen die Diagonale f = BD halbiert, lässt sich verwenden, um bei diesen Berechnungen Zusammenhänge zu vereinfachen. Ist z.B.
- S der Schnittpunkt f ∩ (AC) und
- die Strecke AS bekannt und
- ε = Winkel DSA,
so fällt bei Anwendung des Kosinussatzes zur Bestimmung von AB und AD in den Dreiecken ABS und ASD wegen cos(ε) = - cos(180° -ε) das gemischte Glied bei Addition der beiden Kosinussatz-Gleichungen heraus, d.h. der Wert von ε braucht nicht bekannt zu sein. - Wegen BS = SD = BD/2 ist dann
AB² + AD² = 2AS² + (BD)²/2 ;
damit ist ist die Bestimmung von AB und AD noch nicht vollständig, aber es ist nur noch eine weitere Gleichung erforderlich, um beide Strecken zu bestimmen.
Weitere Überlegungen dieser Art sind für eine vollständige Fallunterscheidung erforderlich, bei welchen gegebenen Stücken der Umfang wie berechnet werden kann.
Es kommt nicht so sehr darauf an, ob der Drache konvex oder konkav ist, aber sehr wohl darauf, ob er gerade oder schräg ist. Am Ende geht kann es aber wohl immer nur um eine geeignete Verwendung von Sinus- und Kosinussatz gehen, wie bei Dreiecken auch. Viel Spaß!
