(Vergeblicher Versuch.)

(Versehentlich in dieser Frage gelandet - bitte woanders weiterlesen.)

(Pardon, Tippfehler.)

(Hier stand Unsinn.)

Vielleicht:

(j'ai su les bons arguments) après coup ?

"l'après-coup"

wird auch als Substantiv gebraucht, als fachsprachlicher Übersetzung der "Nachträglichkeit" bei Sigmund Freud.

Du kannst sehr Verschiedenes meinen. Zwei Vorschläge:

**

In einem xy-System hat ein Kreis um einen Punkt (0 | y0) die Parameterform

• x = r cos(t)
• y = y0 + r sin(t)

wobei t eine (Lauf-)Parameter ist und r der Radius des Kreises.

In einem xyz-System hat ein Kreis um einen Punkt (0 | 0 | z0) die Parameterform

• x = r cos(t)
• y = r sin(t)
• z = z0

Bezeichnungen wie oben.

(a) Da der Student dich persönlich nicht kennt, brauchst du dich auch nicht persönlich getroffen zu sehen. Du wirst auch eine(n) andere(n) Nachhilfelehrer[in] finden. In einer anderen Annonce.

(b) Das politische Verhalten von Investmentbankern sehe ich persönlich auch sehr krittisch, insofern diese als Teil der sogenannten Finanzwirtschaft handeln.

In einem Spielkasino wissen alle, dass ihr Nullsummenspiel kein einziges reales Gut erwirtschaftet, und dass der Reichtum weniger zufällig Bevorteilter durch bloße Umverteilung die Armut aller anderen ist. Auf den Börsen scheint dieser einfache Zusammenhang immer weniger zu interessieren oder durch alle möglichen ideologischen Aussagen ausgeblendet zu werden.

Der Wettwerb um die geschickteste Manipulation von Regeln zugunsten einer Minderheit scheint dabei zu sein, den Wettbewerb um die realwirtschaftlich sinnvollste Investition in den Hintergrund zu drängen. Vor 35 Jahren stiegen die Aktien einer Firma, wenn sie Leute einstellte. Heute steigen diese, wenn sie Leute entlässt. Da stimmt etwas nicht.

(c) Alles das hat mit deiner Tätigkeit erstmal nicht so viel zu tun. Du bist am Anfang deiner Ausbildung - Aber du siehst jetzt auch schon die Scherben, die vor 35 Jahren niemand sehen wollte. Du hast alle Chancen, diesbezüglich schlauer zu sein als die Leute vor 35 Jahren, vorausgesetzt, du lässt dich nicht von der genannte Ideologie blenden.

(d) Ich würde den Mathestudenten einfach fragen, wie es denn seiner Meinung nach richtig wäre.

Grobe Abschätzung: (ohne Taschenrechner)

2 • 6² • π + 2 • 6 • π • 4,86 =

12 π ( 6 + 4,86 ) = x

12 * 3 * 10 < x < 12 * 3,5 * 11

360 < x < 462

So völlig daneben ist dein Ergebnis also nicht.

Zur Absicherung eine formale Schreibweise; KDWalther erklärte das Wesentliche schon:

∫ dx / (5x -7) =

• Substitutionsregel: 5x - 7 = t ⇒ 5 dx = dt, denn dt/dx = (5x -7)' = 5
• Vorbereitung der Substitution durch geeignete Umformung des Integrals:

∫ 1/5 * 5 *dx / (5x -7) =

• Konstanten Faktor "1/5" vor das Integral ziehen:

1/5 ∫ 5 dx / (5x -7) =

1/5 ∫ dt / t =

• Mit Betragstrichen gilt die Stammfunktion auch für negative t:

1/5 ln | t | + C =

1/5 ln | 5x - 7 | + C;

die Lösung gilt für beliebige negative und positive x außer für x = 7/5 (warum?)

. . .

Probe.

( 1/5 ln | 5x - 7 | + C ) ' =

1/5 (ln | 5x - 7 |) ' =

• Kettenregel; die innere Ableitung ist (5x -7)' = 5:

1/5 * 1 / (5x - 7 ) * 5 =

1 / (5x - 7) (ok)

Hier ist der Witz, die binomische Formel nicht anzuwenden, sondern auszuklammern:

(1,3 - a)(1,1 - a)² -0,08(1,1 - a) =

[ (1,3 - a)(1,1 - a) -0,08] (1,1 - a) =

• Klammern ausmultiplizieren (ohne binomische Formel):

[ 1,43 - 1,1a -1,3a + a² - 0,08 ] (1,1 - a) =

( a² - 2,4a + 1,35 ) (1,1 - a);

Siehe dentrassi. Ohne Logik-Zeichen:

0 < x < 0

oder

0 > x > 0

... was bei mir natürlich sofort den "falsch-Reflex" hervorriefe...

A. Wenn du die Aufgabenstellung vollständig wiedergibst, finde ich die Argumentation des Lehrers nicht "gerichtsfest" und stimme EnteWurzel insoweit zu.

In einer realen Wüste wird eine beliebige Person tunlichst die Strecke ein weiteres Mal benutzen, auf der sie bereits eine Überquerung überlebte. Auch trifft einfach zu, dass Rallyefahrten keineswegs irgendwo verlaufen, sondern auf vorher festgelegten Routen. Die Idee, in einer unbekannten Wüste auf das Geradewohl eine Abkürzung zu nehmen, beinhaltet eine erhebliche Realitätsverkürzung. In der Großen Salzwüste in Utah ginge das vielleicht, in der Lut im Iran beispielsweise wäre dieses Verhalten der sichere Tod. Das kannst du als Schüler(in) der 9ten Klasse wissen. Vielleicht bist du ja ein As in Geographie...

Auch wäre es ein Leichtes gewesen, die Aufgabe eindeutig zu stellen. Es hätte nur hinzugefügt werden müssen, dass die Wüste der Aufgabenstellung in alle Richtungen gleich gut befahrbar ist, oder etwas Entsprechendes. Dass präzise und vollständige Angaben das A und O der Mathematik ist, gilt auch für die Formulierung von Aufgabenstellungen. Dies hat der Lehrer möglicherweise nicht unternommen, obwohl es erwartbar gewesen wäre usw. - aber ich kenne halt den genauen Wortlaut der Aufgabenstellung nicht.

B. Das Argument gewinnt dann besonderes Gewicht, wenn die Arbeit noch eine andere Aufgabe enthält, die ebenfalls mit Pythagoras zu lösen war, und die du dann auch so gelöst hast oder zumindest einen entsprechenden Ansatz hinschriebst. - Besonders für dich spräche eine Aufgabe, bei der du das Vorhandensein eines rechtwinkligen Dreiecks erst erkennen musstest, so in dem Stil:

"Die Strecke AB = 5 cm ist der Durchmesser eines Kreises k, der Punkt C liegt auf k und die Punkte A,B,C bilden ein Dreieck. Die Strecke BC ist 4 cm lang. Wie lang ist die Strecke CA? Begründe deine Rechnung."

(Lösung: k ist ein Thaleskreis über AB, also ist der Dreieckswinkel mit Scheitel C ein rechter, das Dreieck ABC rechtwinklig mit Hypotenuse AB, mit Pythagoras ist CA = √(5² - 4²) = 3 (cm). )

Was hatte die Arbeit denn noch für Aufgaben außer der genannten?

C. Eine mögliche Konsequenz wäre, die Note für diese Arbeit neu zu berechnen, wobei sowohl die erwartbare Punktezahl für diese Aufgabe von der Gesamtzahl erreichbarer Punkte abgezogen wird, als auch dein halber Punkt von der Gesamtzahl der von dir erreichten Punkte ( = die Aufgabe wird als nie gestellt bewertet). Dann sind auch die Schüler(innen) nicht benachteiligt, die die Aufgabe trotz der stillschweigenden und "grob realitätswidrigen" zusätzlichen Voraussetzungen so lösten, wie vom Lehrer erwartet.

y = a sin(bx +c) + d cos(ex +f) + g;

Ableitungen:

y' = a b cos(bx +c) - d e sin(ex +f);

y'' = -a b² sin(bx +c) - d e² cos(ex +f)

y' = 0 ⇔ a b cos(bx +c) = d e sin(ex +f);

Fallunterscheidung:

Fall 1: d ≠ 0, e ≠ 0

y' = 0 ⇔ a b cos(bx +c) / ( d e ) = sin(ex +f);

Fall 1.1: (d ≠ 0, e ≠ 0, ) cos(bx +c) ≠ 0

y' = 0 ⇔ a b / (d e) = sin(ex +f) / cos(bx +c)

Nur Näherungslösungen möglich, z.B. gibt es für

• b = 2, e = 3, a = 1, f = 4, c = -1, d = -2; also
• -1/3 = sin(3x +4) / cos(2x -1) mit
• y'' = - 4 sin(2x -1) +18 cos(3x +4)

bei

• x1 ≈ 2 (-1,14711 + n π), n ∈ Z beliebig mit y''(x1) ≈ -19,96 < 0 Maxima, sowie
• x2 ≈ 2 (-0,612822 + n π), n ∈ Z beliebig mit y''(x2) ≈ 15,84 > 0 Minima, sowie
• x3 ≈ 2 (-0,143173 + n π), n ∈ Z beliebig mit y''(x3) ≈ -14 < 0 Maxima, sowie
• x4 ≈ 2 (0,32663 + n π), n ∈ Z beliebig mit y''(x4) ≈ 15,86 > 0 Minima, sowie
• x5 ≈ 2 (0,861065 + n π), n ∈ Z beliebig mit y''(x5) ≈ -19,97 < 0 Maxima.

. . .

Fall 1.2: (d ≠ 0, e ≠ 0, ) cos(bx +c) = 0

y' = 0 ⇔ 0 = sin(ex +f)

ex + f = n π ⇔ x = (n π -f)/e , wobei n ∈ Z beliebig, und

y'' = -a b² sin(bx +c) - d e² cos(n π)

Fall 1.2.1: (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, ) sin (bx +c) = 1

y'' = -a b² - d e² cos(ex +f)

Fall 1.2.1.1 (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, sin (bx +c) = 1, ) | a b² | > | d e² | ⇒ a,b ≠ 0

Fall 1.2.1.1.1 (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, sin (bx +c) = 1, | a b² | > | d e² |, ) a > 0

y'' < 0 ⇒ Maxima bei x = (n π -f)e , wobei n ∈ Z beliebig.

Fall 1.2.1.1.2 (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, sin (bx +c) = 1, | a b² | > | d e² |, ) a < 0

y'' > 0 ⇒ Minima bei x = (n π -f)e , wobei n ∈ Z beliebig.

Fall 1.2.1.2 (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, sin (bx +c) = 1, ) | a b² | = | d e² |

Fall 1.2.1.2.1 (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, sin (bx +c) = 1, ) a b² = d e²

y'' = -d e² - d e² cos(ex +f) = - d e² (1 + cos(ex +f) )

Fall 1.2.1.2.1.1 (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, sin (bx +c) = 1, a b² = d e², ) d e² > 0

• y'' < 0 für cos(ex +f) = cos(nπ) > 0 ⇔ n gerade ⇒ Maxima bei x = (n π -f)/e und mit
• y'' = 0 für ungerade n ⇒ y = a + d cos(n π) + g wg. d > 0 Minima bei x = (n π -f)/e
  

.... Der Unterfall d e² = 0 tritt wegen d ≠ 0, e ≠ 0 nicht ein, also käme als nächster Unterfall

Fall 1.2.1.2.1.2 (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, sin (bx +c) = 1, a b² = d e², ) d e² < 0;

sodann

Fall 1.2.1.2: (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, sin (bx +c) = 1, ) | a b² | < | d e² |

samt Unterfällen, dann

Fall 1.2.2: (d ≠ 0, e ≠ 0, cos(bx +c) = 0, ) sin (bx +c) = -1 samt Unterfällen, dann

Fall 2: d ≠ 0, e = 0 samt Unterfällen, dann

Fall 3: d = 0, e ≠ 0 samt Unterfällen, sowie schließlich

Fall 4: d = 0, e = 0 samt Unterfällen.

Vom Umfang her wären das für mich mehrere Stunden Arbeit.

dy/dx = sin(x) e^y; | * dx; | * e^(-y)

e^(-y) dy = sin(x) dx ; | ∫

-e^(-y) = -cos(x) + C; | * (-1); | ln; | * (-1)

y = - ln | cos(x) + C' | ; | y(π) = 0

y = - ln | cos(x) + 2 |

Ich kann dein Bild nur teilweise einsehen. Ich kann deswegen zu A und B nichts sagen, aber zu deinem Text.

Behauptet ist nicht, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten > 1 sein muss, wenn die Ereignisse vereinbar sind . Das wäre bereits die Umkehrung.

Sondern behauptet ist, dass die Ereignisse vereinbar sein müssen, wenn die Summe der Wahrscheinlichkeiten > 1 ist. Also genau anderes herum, und dass es anders herum ist, geht auch eindeutig aus der Formulierung hervor ⇒ genau lesen ist total wichtig.

Die Umkehrung gilt nicht, Gegenbeispiel mit einem Laplace-Würfel mit 6 Seiten:

• "Ich würfele eine 2 oder eine 3" hat eine Wahrscheinlichkeit von 2/6 = 1/3
• "Ich würfele eine 3 oder eine 4" hat ebenfalls eine Wahrscheinlichkeit von 2/6 = 1/3

Wenn ich eine 3 würfele, treten beide Ereignisse ein, also sind die Ereignisse vereinbar. Die Summe der Wahrscheinlichkeit ist aber

1/3 + 1/3 = 2/3 < 1.

. . .

Die Behauptung selbst gilt aber; Beweis:

Von allen Ereignissen, die mit einem vorgegebenen Ereignis E mit Wahrscheinlichkeit p nicht vereinbar sind, ist das Gegenereignis von E° am wahrscheinlichsten. E° hat die Wahrscheinlichkeit

q = 1 -p ⇔ p +q = 1

Da alle anderen Ereignisse E°', die mit E nicht vereinbar sind, eine Wahrscheinlichkeit q'≤ q haben, ist

p + q' ≤ p + q = 1

Also ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses E°' und des Ereignisses E nie > 1. Deswegen muss eine Ereignis E^ mit E (nicht unvereinbar = ) vereinbar sein, wenn für die Wahrscheinlichkeit q^ von E^ gilt:

p + q^ > 1;

das war behauptet.

Ich schlage vor:

• C'est gentil (d'avoir pensé à moi). (Es ist lieb, an mich gedacht zu haben)

oder aber, in persönlicher Anrede, wenn der Bezug klar ist

• Tu est gentille. (an eine Frau gerichtet), aber:
  
• Tu es gentil. (an einen Mann gerichtet)

oder wörtlicher, aber etwas weniger gebräuchlich:

• C'est gentil que tu aies pensé à moi.

Ich komme mit bis

ε(y, x) = ... = (6x + 6) / 3;

weiter mit 3 im Zähler ausklammern und 3 kürzen:

ε(y, x) = x + 2;

. . .

Die Punktelastizität ist bei einer Nullstelle der betrachteteten Funktion (also hier für x = 0) nicht definiert. - Quelle:

https://de.wikipedia.org/wiki/Elastizität (Wirtschaft)

ε(y, x) hat selbst, wie du leicht siehst, eine (einzige) Nullstelle bei x = -2

(falls negative x definiert sein sollten; ich bin kein Wirtschaftler).

Eine Geradengleichung kann unabhängig von ihrer Bedeutung als Funktion als lineare Gleichungs gelesen werden - und umgekehrt. Deswegen sind die Koordinaten (x, y) des Schnittpunkts der Geraden

• g: y = m1 * x + b1
• h: y = m2 * x + b2

gleichzeitg das Lösungspaar (x y) des Gleichungssystems

• y - m1 * x = b1
• y - m2 * x = b2.

Wenn vor y noch ein Faktor steht, kannst du den "wegdivieren" (falls er nicht =0 ist, s.u. ).

Beispiel:

Das Gleichungssystem

• x + y = 3; | -x
• 3x - y = 5; | : (-1)≠ 0; | +3x

entspricht dem Geradenpaar

• y = -x +3
• y = 3x - 5

. . .

• Der Schnittpunkt der Geraden ist (2 | 1), wie durch Zeichnen der Geraden leicht herausbekommst;
• x = 2, y = 1 ist auch die Lösung des Gleichungssystems.

Wenn in der Geradengleichung der Faktor vor y doch = 0 ist, hat die Gerade die Form

m * x = b ; (1)

Wenn dann m auch noch = 0 ist, muss b = 0 sein; dann hat die Gleichung hat die Form

0 = 0

und trägt nichts zur Lösung des Gleichungssystems bei (denn "0 = 0" gilt für beliebige x und beliebige y).

Wenn m aber nicht = 0 ist, kannst du die Gleichung (1) durch m dividieren; dann kommt heraus:

x = b/m

Das ist die Gleichung einer Gerade k, die parallel zur y-Achse ist und durch den Punkt

( b/m | 0 )

geht.

Dies Gerade k ist kein Graph einer Funktion, und ihre Gleichung kann deswegen nicht in die gewohnte Achsenabschnittsform

y = m x + b

gebracht werden. In das Koordinatensystem kannst du k natürlich trotzdem einzeichnen.

A. f(x) = 2 e^x + 1 = 1 + 2 e^x,

denn ohne Klammer gilt: Potenz vor Punkt von Strich

f'(x) = 2 e^x, denn

• eine addtive Konstante fällt beim Ableiten weg (1) und
• eine multiplikative Konstante bleibt beim Ableiten unverändert (Faktorregel).

B. Mit Regel (1) ergibt sich für eine beliebige Funktion die Faktorregel aus der Produktregel:

(a * f(x))' = a' * f(x) + a * f'(x) = 0 + a * f'(x) = a * f'(x)

Es ist daher wesentlich einfacher, die Faktorregel als solche zu lernen. - Auch lässt sich die Faktorregel viel einfacher als die Produktregel direkt aus der Definition der Ableitung herleiten (wäre eine sinnvolle Übung).

C. f(x) = 2 e^(x+1) ⇒

f'(x) = 2 e^(x+1) * 1 = 2 e^(x+1)

Mit Klammer ist f(x) eine verkettete Funktion der Form f(x) = u(v(x). Also ist hier die Kettenregel anzuwenden:

u(v(x))' = u'(v(x)) * v'(x), wobei

• v: x → v(x) = t = x +1
• u: t → u(t) = 2 e^t

Das Ergebnis bekommst du mit v'(x) = 1 wegen (1) und u'(t) = e^t nach Faktorregel.

Problem: Die Kettenregel macht sich hier nicht "bemerkbar", weil sie nur einen Faktor 1 bewirkt. Deswegen bekommst du zufällig auch dann das richtige Ergebnis, wenn du gar nicht bemerkst, dass du eine verkettete Funktion vor dir hast.

. . .

Es ist allerdings auch möglich, das Ergebnis mit Faktorregel allein zu bekommen (ohne Kettenregel), aber dann erfordert das eine Zerlegung mit Regeln der Potenzrechnung:

( 2 e^(x+1) ) ' =

(2e^x * e^1 ) ' =

(2 * e) * (e^x)' =

(2 * e) * e^x =

2e^x * e^1 =

2e^(x+1)

Ist eine gerade Anzahl von Werten gegeben, dann wählst du ein x so, dass genausoviele Werte kleiner als x sind, wie großer alls x sind, im gegebenen Fall also

1 2 x 3 4

Dann ist der Median definitionsgemäß

• das arithmetische Mittel aus
• der größte Zahl, die kleiner ist als x, und
• der kleinsten Zahl, die größer ist als,

im gegebenen Fall also

(2 + 3) / 2 = 2,5