Ist die numerische Reihe divergent oder konvergent und wie ist der reihenwert und wieso?

Answer 1

[FataMorgana2010]

Diese Reihe hat zwei Häufungspunkte - nämlich 0 und 1. Eine konvergente Reihe kann nur einen haben, also ist die Reihe divergent.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

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[Lucas515]

Wie kommen sie auf die 0 und 1?

[BorisG2011]

@Lucas515

Man betrachtet die endlichen Partialsummen

   n
 +-----
  \          k
  /      (-1)
 +-----
  k = 0

und stellt fest, dass diese Partialsummen für gerade obere Summationsgrenze n den Wert 1 und für ungerade obere Summationsgrenze den Wert 0 annehmen.

[tunik123]

@Lucas515

Der erste Summand ist (-1)⁰ = +1, der zweite (-1)¹ = -1, der dritte (-1)² = +1 usw.

Wenn man die jetzt addiert, hat man

+1 = 1

+1 -1 = 0

+1 -1 +1 = 1

+1 -1 +1 -1 = 0

...

Die Summe springt also zwischen 1 und 0 umher, ohne konvergieren zu wollen.

Answer 2

[tunik123]

Bei der Summation wechselt die Summe von 0 auf 1 und umgekehrt. Sie nähert sich aber keinem Grenzwert an. Also ist die Reihe (unbestimmt) divergent.

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[Lucas515]

Hm ok. Aber wieso schwankt es von 0 auf 1 wenn das ergebnis immer -1 ist?

[tomaushamburg]

@Lucas515

Das Ergebnis ist nicht immer -1. Jeder zweite Summand lautet -1 (bei ungeraden Exponenten) und die anderen sind +1 (bei geraden Exponenten). Also lautet die Reihe 1-1+1-1+1-1+..., und damit gibt es keinen Wert, gegen den die Reihe konvergiert

[Lucas515]

@tomaushamburg

Aber wie kommen Sie auf die 0

Answer 3

[Willy1729]

Hallo,

wenn der höchste Wert für k ungerade ist, lautet die Summe 0, ansonsten 1.

Herzliche Grüße,

Willy

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[tomaushamburg]

der "höchste Wert" für k ist unendlich, also gibt es keinen "höchsten Wert"

[Willy1729]

@tomaushamburg

Eben. Deswegen ist unbestimmt, ob die Reihe bei 0 oder bei 1 landet.