Geschlossene Formel vollständige Induktion?
Hallo, ich brauche Hilfe bei der Aufgabe 3. die geschlossene formel, die wir bildeten lautete n^2. danke im voraus :)
Ich möchte nun einfach nur beweisen, dass die Formel n^2 auf diese Summen 1; 4; 9; 16; 25 zutrifft. Diese tue ich mit der vollständigen Induktion, doch was bringt mir das nun wenn ich zuerst 1 für n einsetze und dann n+1 für n? Daraus kann man keinen Beweis schließen. Danke im voraus.
4 Antworten
Hallo,
das Prinzip der vollständigen Induktion liegt darin, daß Du zeigst, daß eine Formel, die für n gilt, auch für n+1 gilt. Allerdings muß auch noch gezeigt werden, daß es ein kleinstes n gibt, für die die Formel stimmt.
Hier geht es darum zu zeigen, daß die Summe der ungeraden Zahlen
1+3+5+...+(2n-1) für n=1; 2...n gleich n² ist.
Für n=1 stimmt es, denn 2*1-1 ist gleich 1²=1.
Das ist der Induktionsanfang und somit der Anker. Wenn das schon nicht stimmen würde, bräuchtest Du gar nicht mehr weiterzumachen.
Nun zeigst Du, daß die Formel auch dann noch stimmt, wenn die Summe nicht nur bis n, sondern auch zum Nachfolger von n, also bis n+1 geht. Dann müßte
1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1) das Gleiche ergeben wie (n+1)². Du könntest diese um 2n+1 erweiterte Summe also einfach dadurch berechnen, daß Du statt n² (n+1)² berechnest. Um das zu beweisen, benutzt Du die Induktionsbehauptung, nämlich daß 1+3+5+...+(2n-1) gleich n² ist, also durch n² ersetzt werden kann.
Wenn Du nun zu der bisherigen Summe die nächste ungerade Zahl nach 2n-1, also 2n+1 addierst, müßte das Gleiche herauskommen, also wenn Du gleich (n+1)² rechnen würdest.
Mal sehen: n²+2n+1 ist nach der ersten binomischen Formel das Gleiche wie (n+1)².
Genau das galt es aber zu zeigen. Somit ist der Beweis erbracht.
Wieso ist die Behauptung damit bewiesen? Deswegen, weil zunächst gezeigt wurde, daß es ein erstes n (hier: n=1) gibt, für das die Formel stimmt.
Im Induktionsschluß wurde gezeigt, daß die Formel - wenn man sie benutzt - auch für den Nachfolger n+1 eines beliebigen n gilt.
Da dieses n beliebig sein kann, kann man bei n=1 anfangen und weiß nun, daß die Formel auch für n+1, also für 1+1=2 gilt. Dann aber gilt sie auch für die 3, den Nachfolger der 2, für 4, den Nachfolger der 3 usw. bis n+1, also bis zu einer beliebig großen natürlichen Zahl n und deren Nachfolger.
Daß sie aber für n=1 stimmt, wurde ja bereits beim Induktionsanfang gezeigt.
Herzliche Grüße,
Willy
Du sollst ANNEHMEN, dass die Aussage für ein n € N gilt, d.h. dass für ein n € N
gilt. Nun schreibe die gleiche Aussage für n + 1 hin:
Spalte nun die Summe auf in die ersten n Summanden und in den letzten und verwende die Annahme. Kommst du auf eine wahre Aussage?
In Verbindung mit dem Induktionsbeginn hast du dann die Gesamtaussage bewiesen.
Du bist nicht mehr an der Schule, sondern an der Hochschule. Hier nimmt keiner, ich wiederhole NIEMAND, darauf Rücksicht ob du mit dem Stoff hinterher kommst oder nicht. Die jetzigen Aufgaben sind einfachste Grundlagen. Du tust gut daran, selbständig zu recherchieren wenn du Probleme beim Verständnis hast. Du kannst auch zu einem der Assistenten oder Assistentinnen in die Sprechstunde gehen um dir Sachverhalte noch mal erläutern zu lassen. Dein Verständnis an GuteFrage outzusourcen wird auf Dauer nicht funktionieren.
Tipp: Sieh dir noch einmal die obige Gleichung genau an, vor allem beim n² 😉
Du machst das mit dem Kleinen Gauß, den du hoffentlich kennst.
Die Summe aller k von 1 bis n+1 ist
(n+1)(n+2) / 2 = (n²+3n+2)/2
Davon hast du 2 , die linke Seite ist also (n²+3n+2) - (n+1) = n² + 2n + 1 = (n+1)²
QED
Die (n+1) in (n²+3n+2) - (n+1) kommt daher, dass
du lt. Summenformel (n+1) mal 1 subtrahieren musst.
n² +(2 (n+1) - 1)) = (n+1)²
n² + ((2n+2) -1) = n² + 2n + 1
n² + 2n + 1 = n² + 2n + 1
Wenn ich alles richtig gemacht habe, sollte das der Beweis in groben Zügen sein. Das liegt schon ein paar Semester hinter mir 😅
Nicht du sollst das rechnen, der Fragesteller soll sagen woher die 3n bei ihm kommt.
Bei dem Beweis fehlen sowieso noch die Formalitäten und er muss ihn auch richtig nachvollziehen können. Ansonsten wird er zu 99% durch die Klausur fallen und frustriert das Studium abbrechen, weil "Mathe ziemlich blöd ist!". Ich habe anhand seiner Fragen gesehen, dass er viele Grundlagenfragen hier stellt und das wird - wie du bereits sagtest - auf Dauer nicht funktionieren.
Ich muss zugeben, dass einige Profs durchaus schlecht erklären. Aber dafür gibt es ja das Internet mit zahlreichen Möglichkeiten, um sich zu informieren und den Stoff nachzuholen.
Was genau ist Deien Frage, bzw. woran scheiterst du?
Wir sidn usn einig, daß Du:
zu zeigen hast?
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Nicht, daß Du dabei wirklich was lernen würdest:
2*1-1=1=1^2 <- Gleichung wird für n=1 erfüllt (das ist Dein 'Anker')
Des Weiteren:
Ergänze die fehlenden Details, schreibs sauber auf und Du solltest damit hinkommen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion#Summe_ungerader_Zahlen_(Maurolicus_1575)
Hier wird der Inverse Weg gegangen.
Aber wie gehe ich nun bei der vollständigen Induktion vor?
Zur vollständigen Induktion gibt es auf YouTube zahlreiche Videos, wie sie funktioniert. Christian Spannagel, MathemaTrick und MathePeter sind gute Kanäle. Ich habe mir allerdings auch englische Erklärungen und Skripte (hier: Induction) angeschaut.
Ich nehme an, dass du im ersten Semester bist. Die meisten "Zocker" brechen das Informatikstudium ab, weil sie mit der Mathematik nicht gerechnet haben und ich kann dir aus Erfahrung sagen, dass es noch härter wird. Daher: Unbedingt das Mathewissen aus der Mittelstufe und der Oberstufe auffrischen. Daniel Jung ist ein sehr guter Helfer dabei 😊
Das mit der 1 war auch nur der Induktionsanfang, damit der Beweis formell richtig ist. Je nach gegebener Menge kann er auch bei 0 liegen, muss er aber nicht. Erst beim Induktionsschritt folgt der eigentliche Beweis, worin die Induktionsbehauptung benutzt wird.
ok aber wenn ich jetzt n+1 einsetze was dann?
Damit sollst du zeigen, dass die Formel für den jeweiligen Nachfolger von n gilt. Du setzt in beiden Seiten n+1 ein und formst die linke Seite mit dem Summenzeichen so um, dass am Ende (n+1)² herauskommt. Die vollständige Induktion funktioniert ja so, dass wenn das für 1, 2, 3, 4, 5... geht, dann muss die Formel bzw. Gleichung auch für n+1, dem Nachfolger von n gültig sein.
Suche bei YouTube nach der vollständigen Induktion bei meinen oben genannten Kanälen. Die erklären das wirklich gut.
echte Mathe kann ich nicht , aber Induktion ist als Prinzip ja nicht wirklich schwer.
Und ja , es wird noch schlimmer . Mathewissen auffrischen ( Bücher : Brückenkurse z.B ) ist wichtig und richtig . Nutzt hier aber auch nix , weil man da keine Regeln kennenlernt , explizit , die einem helfen k durch n+1 zu ersetzen
Ich bin auch keine Mathematikerin, aber das sind eben Grundlagen, die man für das weitere Studium braucht. Es gibt auf YouTube gute Kanäle, die einem das sehr gut erklären.
eben ! das mit dem "gut" erklären ist natürlich Ansichtssache . Nicht jeder Stil hilft jedem weiter . Aber es gibt eine Auswahl immerhin .
Und so unselbstständig ( digital Native ) wie der FS wirkt , lässt nix Gutes erwarten .
Das sind eben die Folgen des relativ einfachen Abiturs hier in Deutschland, womit sich jeder an der Uni einschreiben kann. Den typischen Aufwachprozess machen sie dann durch, wenn sie dann in der Vorlesung sitzen und nichts verstehen, obwohl sie doch in der Schule so gute Noten hatten. Meine damaligen Mitschüler haben mich immer komisch angeschaut und darüber gelacht, dass ich in Mathe möglichst wenig den Taschenrechner verwendet habe.
Beim FS fehlt es definitiv an Vorwissen aus der Mittel- und Oberstufe.
Man muss auch berücksichtigen, dass man sich an der
Schule mit wichtigen Dingen wie Satzgliedern oder der
Frage, welcher Irre im Mittelalter welchem anderen Irren
wann, wo und warum auf den Helm gehauen hat, beschäftigen muss.
Diese gut verwendete Zeit muss man bei unwichtigem Kram wie
Mathematik einsparen.
selbst induktionsunerfahrene und Nichtkönner wie ich finden mit einer Suchmaschine ( Suchbegriffe : vollständige induktion n² (2k-1) ) dieses
die drei Blindenpunkte stehen für das hinzugefügte n+1 te Glied ( k wurde durch n+1 ersetzt . Rechts steht statt n² nun (n+1)²
soweit bin ich auch. Bei mir kommt am ende aber nichts richtiges raus. Es steht am ende n^2 + 3n + 1 = n^2 + 2n + 1. egal wie oft ich diese Gleichung durchgehe, ein beweis kommt nicht heraus.