Polynomfunktion?
Warum wächst die Exponentialfunktion schneller als jede Polynomfunktion? Also ein Beweis
Vollständige Induktion
2 Antworten
Zeige zuerst, dass a*x^n/e^x≤0 gilt. Dann ist nur noch ein Schritt nötig.
Die Grenzwertregeln sagen, dass für eine Funktion h mit h(x)=f(x)+g(x) gilt: lim x->n (h(x))=lim x->n (f(x))+ lim x-> n (g(x))
Sprich: ein Polynom lässt sich immer in verschiedene Einzelpolynome der Form a*x^n auftrennen, für die du immer wieder zeigen kannst, dass jede Funktion gegen ≤0 geht und damit das gesamte Polynom dagegen strebt, was bedeutet, dass e^x tatsächlich schneller als jedes Polynom wächst. Das schließt sich an Jangler an.
Mich verwirrt deine Schrift, deshalb hier ganz einfach:
Du hast es doch selber schon gemacht. Aus der Reihenentwicklung kann man folgendes schlussfolgern:
Der letzte Term ist eine Konstante geteilt durch x, was im unendlichen immer gegen 0 konvergiert, also konvergiert
gegen 0.
Da jetzt gilt:
und man ein Polynom immer als Summe vieler Funktionen der Form a*x^n ansehen kann, konvergiert der Quotient aus Polynom und e-Funktion immer gegen null, sprich: e^x ist im unendlichen immer größer und wächst schneller als a*x^n.
Wann geht ein Quotient gegen, wenn der zähler und der Nenner beide monoton steigend und positiv sind?
Wenn der Nenner im Vergleich zum Zähler (viel) größer wird.
e^x wird also viel schneller größer als das Polynom.
Es kann aber jedes Polynom sein, nicht nur der Form ax^n?
Ah, da ich das jetzt allgemein bewiesen habe, dass das immer so gilt, kann ich automatisch sagen, dass e^x schneller größer wird als das Polynom
Schau mal: eine andere überlegung ist: Was gibt an, wie stark eine Funktion steigt? Die Ableitung. Die Ableitung von e^x ist e^x, von einem Polynom wieder ein Polynom. Und für den Fall hast du schon gezeigt, dass e^x irgendwann größer ist als ein Polynom, also ist die Steigung von e^x irgendwann größer-> die e-Funktion steigt schneller.
Oder noch eine Alternative:
Der Quotient zweier Funktionen konvergiert gegen die gleiche Zahl, wie der Quotient der beiden Ableitungen der Funktionen (l'Hopital) -> (a*x^n)'/(e^x)' -> 0, also ist die Steigung von e^x irgendwann viel größer als die vom Polynom.
Kann ich zuerst zeigen, dass ax^n/e^x gegen null läuft, bei x gegen unendlich?
Um das beurteilen zu können, müsstest du deinen Lösungsweg zeigen.
Da hast du Recht. Außerdem ist es ohne Induktion viel einfacher.
Könntest du es vielleicht nochmal erklären? Sorry, stehe echt auf dem Schlauch…
Warum sehen deine unendlcih Zeichen wie 8ten aus?;
Außerdem ist x^(n+1) ≠ (n+1)x^n und du darfst. Icht einfach so den Limes in Zähler und Nenner ziehen da beides gegen unendlich geht. Und warum taucht da plötzlich ein k auf?
Ich habe lhospital angewendet und somit abgeleitet. Den konstanten Faktor habe ich einfach so bezeichnet. Über Schriften sagt man nichts :)
Siehe meine überarbeitete Antwort, ich habe es mal so gemacht, wie es verständlich sein sollte.
Ich habe lhospital angewendet und somit abgeleitet
Du meinst wohl eher L'Hospital falsch angewendet, weil du dann trotzdem nicht einfach den Limes in den zähler und in den Nenner reinziehen darfst. Der Limes bleibt immer noch draußen.
Außerdem wird der Beweis von der Aussage normalerweise drangenommen, bevor überhaupt Ableitungen und L'Hospital eingeführt wurden. (Somit dürftest du L'Hospital nicht nutzen)
L'Hospital (wenn richtig angewendet) funktioniert, ja, aber ist für Polynome Overkill.
Den konstanten Faktor habe ich einfach so bezeichnet
Dann musst du es auch in deinem Beweis anmerken, da es sonst nicht nachvollziehbar ist.
Über Schriften sagt man nichts :)
So wie du es schreibst sieht es so ausy als ob du x gegen 8 laufen lassen würdest.
Und wenn du einen Satz anwendest, dann solltest du auch HINSCHREIBEN dass du ihn nutzt. Beweise schriebt man nicht für sich selbst auf, sondern für andere. Und wenn du deine Schritte überhaupt nicht begründest, versteht niemand was du machen willst.
Wollte auch nicht aufschlussbereit wirken, oder auch nicht nerven. Es ist bloß spät und ich wollte es noch verstehen, also danke an beide😅
Versuche zuerst zu zeigen, dass dies für jedes Polynom der Form ax^n gilt
Betrachte dafür (ax^n)/e^x und zeige, dass es gegen 0 geht.
Tipp: nutze die Reihendarstellung von e^x
Folgere dann, dass es für jedes Polynom gilt.
Ich habe nun mit vollständiger Induktion gezeigt, dass ax^n/e^x vollständig gegen null läuft. Und jetzt?
1. Induktion wird hierfür gar nicht gebraucht.
2. Wie gesagt: nutze die Grenzwertsätze um zu zeigen, dass es für ein Beliebiges Polynom gilt.
Dir wurde schon bei der anderen Antwort erklärt, wie du vorzugehen hast.
Als Beispiel habe ich x^42/e^x und das soll gegen unendlich laufen. Ich habe:
0< x^42/e^x< x^42/(x^43/43!)= 43!/x und der läuft ja gegen null, also der andere auch. Gut, x^42/e^x läuft gegen null. Und jetzt?
Du kannst analog zeigen, dass es für x^n gilt.
Nutze dann die Grenzwertsätze um zu zeigen, dass es auch für beliebige Polynome gilt.
Schau dir die Grenzwertsätze an, die besagen, dass du bei Summen die Grenzwerte der einzelnen Summanden einzeln ziehen darfst, wenn jeder Summand konvergiert.
Wenn du das nicht hinbekommst, besitzt du die Grundlagen anscheinend noch nicht.
Könnte ich das durch: e^x/x^n zeigen, dass wenn der für x-unendlich läuft, dann unendlich rauskommt, dass dann die e Funktion schneller wächst als jede Polynomfunktion? Also durch vollständige Induktion
Die Grenzwertbetrachtung und die Abschätzung habe ich verstanden, der Grenzwert läuft allgemein gegen null. Warum wächst e^x aber dadurch immer schneller?