Vollständige Induktion - Teiler von 5?

Ich komme mit der Aufgabe leider nicht so recht weiter.

Um eine Vollständige Induktion durchzuführen, müssen die allgemeinen Rechengesetze richtig sitzen, leider habe ich da eine Lücke.

Wäre mir jemand beim Induktionsschritt behilflich? Den IA und die IV hab ich bereits.

Mit A(n) -> n+1 komme ich auf

$5∣\left(2^{2(n+1)−1}+3^{2(n+1)−1})\right)$ bzw. auf

$\left(2^{2n-1}+3^{2n-1}\right)$

Answer 1

[ChrisGE1267]

2^(2(n + 1) - 1) + 3^(2(n + 1) - 1)

= 2^(2 + 2n - 1) + 3^(2 + 2n - 1)

= 4*2^(2n - 1) + 9*3^(2n - 1)

= 4*2^(2n - 1) + (4 + 5)*3^(2n - 1)

= 4*2^(2n - 1) + 4*3^(2n - 1) + 5*3^(2n - 1)

=4*(2^(2n - 1) + 3^(2n - 1)) + 5*3^(2n - 1).

Erster Term ist nach IV durch 5 teilbar, zweiter Term ebenfalls ein Vielfaches von 5.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie

Answer 2

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Zeige, dass die Differenz aus zwei Folgengliedern durch fünf teilbar ist, indem du sie in die Form

$5a \cdot 2^{2n - 1} + 5b \cdot 3^{2n - 1} + c \left(2^{2n - 1} + 3^{2n - 1} \right)$

mit ganzen Zahlen a, b, c bringst und aus der Induktionsvoraussetzung folgerst, dass dieser Term durch fünf teilbar ist.