Vollständige Induktion?

Hey Leute,

Ich wollte diese Frage lösen, aber ich komme immer auf ein falsches Ergebnis oder so ein Ergebnis, das nix bedeutet.

Induktionanfang gilt für n>=1

Induktionsvorraussetzung brauche ich nicht zu erklären

Aber Induktionsschritt ist das Peoblem. Hab die Summe von 1 bis n plus (n+1)! gesetzt. Weiter vereinfacht nach Induktionsvorrausettzung und dann kam sowas wie 2(n+1)!-1

Eig. soll (n+2)! - 1 rauskommen

Also fast knapp

Ich bitte um Hilfe

Answer 1

[verreisterNutzer]

Induktionsschritt (Ausklammern von (n+1)! nach Verwendung der Induktionsvoraussetzung, während die -1 unangetastet bleibt):

$\sum_{i=1}^{n+1}i\cdot i!=\sum_{i=1}^ni\cdot i!+\left(n+1\right)\cdot\left(n+1\right)!\ =$ $\left(IV\right)\ =\ \left(n+1\right)!-1\ +\left(n+1\right)\cdot\left(n+1\right)!\ =$ $=\ \left(n+1\right)!\left(1+n+1\right)-1\ =\ \left(n+1\right)!\cdot\left(n+2\right)-1\ =\$ $=\left(n+2\right)!-1\ =\left(\left(n+1\right)+1\right)!-1$

Comments

[Francisco1234]

Ich hab gedacht es sei nur i! und nicht i mal i!

Danke sehr

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

Induktionsanfang für i=1:

1*1!=(1+1)-1, also 1=1 (w).

Induktionsschritt von n auf n+1:

Wenn Die Summe von i=1 bis n von i*i!=(n+1)!-1 ist, dann muß durch Addition des nächsten Summengliedes, also (n+1)*(n+1)! zur bisherigen Summe (n+2)!-1 herauskommen, falls die Summenformel stimmt.

Mal sehen:

(n+1)!-1+(n+1)*(n+1)!=(n+1)!*(1+(n+1))-1 (Distributivgesetz).

Das ergibt (n+1)!*(n+2)-1=(n+2)!-1. Genau dies kommt aber auch heraus, wenn man stattdessen die Summenformel anwendet (also anstatt zur bisherigen Summe das nächste Glied zu addieren).

Herzliche Grüße,

Willy

Comments

[Francisco1234]

Aso ich dachte die Summe von i=1 bis n für i!

Das war das Problem

Answer 3

[Delta45]

Du willst zeigen nn!= n+1! - n!= n! ( n+1-1) = n n!

Sehe das Problem nicht