Vollständige Induktion - Beispiel korrekt?
Es gilt zu beweisen, dass 3^n-3 (n>=1) immer durch 6 teilbar ist. Im Internet sah ich mehrere Lösungsvorschläge, keiner der aussah wie meiner. Ich ging so vor:
Induktionsbeginn: 3^1-3=0/6=0 -> passt
Induktionsbehauptung: 6 teilt 3^n-3
Induktionsschritt: 3^(n+1)-3=3*3^n-3 -> man kann 3 ausklammern =3(3^n-1) und sieht nun, dass 3^n-1 immer gerade ist, weil 3^n ungerade ist und eine ungerade Zahl -1 wieder gerade. Damit hat man mit 3^(n+1)-3 eine sowohl durch 2, als auch 3 teilbare Zahl, die logischerweise auch durch 6 teilbar ist.
4 Antworten
Es steckt kein Logikfehler drin, aber ein Formfehler: Du hast im Induktionsschritt die Aussage bewiesen, ohne die Induktionsbehauptung zu verwenden. Das ist keine vollständige Induktion.
Entweder Du schreibst schlicht
- Behauptung: 6 teilt 3^n-3
- Beweis: 3^n−3 = 3·(3^(n−1)−1) usw.
oder Du führst im Induktionsschritt 3^(n+1)-3 irgendwie auf a(3^n-3)+6b zurück.
Außerdem:
eine sowohl durch 2, als auch 3 teilbare Zahl, die logischerweise auch durch 6 teilbar ist.
Das gilt nicht „logischerweise“, denn 20 ist z. B. durch 4 und durch 10 teilbar, aber nicht durch 40. Du solltest noch anmerken, warum das mit 2 und 3 funktioniert.
Du zeigst es direkt, nicht induktiv, hättest dir somit den Induktionsanfang auch noch sparen können. War allerdings nicht Sinn der Übung.
weil 3^n ungerade
Nicht falsch verstehen. Das ist klar. Aber ich habe Vieles, was klar und offensichtlich scheint und als Aussgage auch tatsächlich wahr ist, dennoch als falsch gewertet gesehen, weil es benutzt wurde obwohl formal nicht bewiesen. Daher habe ich Bedenken - nicht mehr - dass das möglicherweise im Sinne einer formal korrekten Beweisführung bemängelt werden könnte (wenn es nicht denn schon als bewiesen benutzt werden darf).
Ja klar, was aber den ganzen Beweis nicht einfacher macht als wenn Du in der Induktionsannahme nicht gleich noch aufnimmst:
IA: .... Daraus folgt: Es existiert ein k aus N mit 6k=3^n - 3 (umgestellt: 3^n=6k+3) und dann im
IS rechnest: 3*3^n - 3 = 3*(6*k + 3) - 3 = 3*6*k +9 -3 = 3*6*k +6 = 6*(3k+1)
Hier steht dann der Faktor 6 explizit.
Das ist keine vollständige Induktion. Es wird zu einer, wenn Du verwendest, dass die Aussage für n korrekt ist.
Das kann ich ja sicher noch einzeln beweisen, oder?