Vollständige Induktion?
Vollständige Induktion
Ich würde gerne verstehen, warum die vollständige Induktion nur für natürliche Zahlen gilt.
Ich habe es nämlich so verstanden, dass man sagt,dass wenn eine Gleichung für alle Zahlen n funktioniert, dann auch für den Nachfolger. Das ist ja quasi der Beweis. Wieso dann nur natürliche Zahlen?
Ich bedanke mich sehr für alle Gedankengänge!
4 Antworten
dann auch für den Nachfolger
stimmt
Welche Zahl kommt denn nach der Null zum Beispiel ? 0.1, 0.01 , 0.001 usw ?
Solange für nichtnatürliche ganze Zahlen der Begriff "Nachfolger" nicht klar ist , muss die vollIndu in der Schublade bleiben
.
eben doch : was für n gilt für n+1 . Der Nachfolger ist substantiell
außer dem : guck dir an , was mit vollständiger Ind bewiesen wird .
sie ist eben ausschließlich für natürliche Zahlen gemacht
Ja genau. Ich finde das auch echt super spannend. Nur verstehe ich nicht so ganz, wieso nur natürliche Zahlen. Das muss ja einen Sinn machen.
Man setzt voraus, dass wenn die Gleichung XY für alle N werte gelten sollte, dann ja auch für die N Werte addiert mit einem beliebig großen Wert.
Im Allgemeinen ist nicht vorausgesetzt, dass wenn die Aussage A(n) für ein bestimmtes n erfüllt ist, die Aussage A(n+x) auch für beliebige x erfüllt ist. Diese Voraussetzung würde vereinfacht ausgedrückt bedeuten, dass wenn A(x) für mindestens ein x erfüllt ist, dann auch für alle. In dem Fall bräuchte man keine vollständige Induktion mehr. Man müsste die Aussage nur für ein x überprüfen und hätte sie direkt für alle gezeigt.
Beispiel:
Zeige sin(πn) = 0 gegeben sin(0) = sin(π) = 0 und das Additionstheorem sin ( x + y ) = sin x ⋅ cos y + cos x ⋅ sin y für alle natürlichen Zahlen n.
Induktion: Wenn sin(πn) = 0, dann auch sin(π(n + 1)) = sin(πn + π) = sin (πn) ⋅ cos π + cos (πn) ⋅ sin π = 0 ⋅ cos π + cos (πn) ⋅ 0 = 0. Für n = 0 ist sin(πn) = sin(0) = 0. Nach der vollständigen Induktion gilt also sin(πn) = 0 für alle natürlichen Zahlen n. Analog könnte man auch sin(-πn) = 0 für alle natürlichen Zahlen n zeigen. Mit der Punktsymmetrie hätte man es auch schon direkt. So gilt sin(πn) = 0 für alle ganzen Zahlen n.
Für nicht ganze Zahlen ist das dagegen falsch, denn z.B. für n = 1/2 ist sin (πn) = 1 ≠ 0.
Nur weil eine Gleichung für alle natürlichen oder ganzen Zahlen gilt, muss sie nicht auch für nicht ganze Zahlen gelten. Zudem ist eine Aussage auch nicht immer für beliebige Zahlen definiert. So wären auch hier die Sinus-Werte beim Additionstheorem nicht für beliebige nicht ganzzahlige n bekannt, wenn nur sin(0) = sin(π) = 0 gegeben ist. Bei einer Summenformel ist nicht klar, was eine nicht ganzzahlige Anzahl an Summanden sein soll.
Hey,
Danke für deine Antwort. Ich verstehe, dass eine Gleichung, die für die natürlichen Zahlen geht, nicht sofort für alle nicht ntürlichen Zahlen gelten muss, nur ging es mir einfach um den Gedanken der Induktion, der ja eine Implikation ausdrückt. Ich wollte wissen, dass wenn es beispielsweise eine Gleichung gäbe, die für alle Zahlen gilt, wirklich alle, ob man nicht auch die Impliaktion aufstellen könnte und anstatt dem Nachfolger das Addieren eines zufälligen Wertes definiert. Weil für mich macht die Implikation sehr sinn, nur wieso brauch man den Nachfolger, wieso nicht einfach +2 oder was weiß ich, der Sinn bliebe ja der gleiche.
Wenn man bereits weiß, dass die Gleichung für alle Zahlen gilt, gibt es auch nichts mehr zu beweisen. Die vollständige Induktion verwendet man nur bei entsprechenden Voraussetzungen. Wenn A(0) bzw. A(1) gegeben wäre, A(n+2) aus A(n) folgen würde und man A(n) für alle geraden für alle geraden bzw. ungeraden Zahlen zeigen müsste, würde man hier die vollständige Induktion mit +2 verwenden.
Es kommt immer darauf an, was gegeben ist und was zu zeigen ist.
Das war ein guter Einwand! Aber dasselbe für sagen wir Mal irrationale Zahlen, wenn es für alle irrationale Zahlen gilt, dann auch für alle addiert mit 3
Eine irrationale Zahl + 3 ist auch wieder eine irrationale Zahl. Alle irrationalen Zahlen und alle irrationalen Zahlen + 3 ist dieselbe Menge. Wenn etwas für die eine Menge gilt, gilt es auch für die andere, weil beide Mengen identisch sind. Da braucht man auch keine vollständige Induktion mehr.
Ach man, da hast du mich wieder. Boah ja, dass war die ganze Zeit mein Denkfehler.
Aber ein Versuch
wenn für alle ganzen ZAHLEN
dann auch für alle ganzen Zahlen multipliziert mit pi
Wenn A(πn) aus A(n) folgt für alle ganzen Zahlen n, dann wäre nach einem Schritt schon Endstation, weil πn außer für n=0 dann keine ganze Zahl mehr ist.
Und wie vorher von mir geschrieben:
Es kommt immer darauf an, was gegeben ist und was zu zeigen ist.
Ich werde leider nicht ganz daraus schlau, worum es genau geht.
wenn für alle ganzen ZAHLEN
dann auch für alle ganzen Zahlen multipliziert mit pi
Das ist keine konkrete Aufgabenstellung. Natürlich kann man addieren oder multiplizieren, was man will, aber es muss klar sein worauf man hinaus will. Was ist zu zeigen und was ist gegeben?
Mir geht es einfach nur um die Logik der vind:
Sagen wir mal, die Gausche Formel soll für alle ganzen Zahlen gelten und wir müssen dann beweisen.
Ich sage dann: Wenn es für alle ganzen Zahlen gilt, dann auch für alle multipliziert mit pi.
Wenn ich das mit pi beweisen kann, dann habe ich doch gezeigt, dass es für alle gilt?
Wie soll eine Summe bis zu einem Vielfachen von pi definiert sein? Man summiert immer nur von 0 bis zu einer natürlichen Zahl. Für andere Zahlen gibt es nichts zu beweisen, weil der Term dann nicht definiert ist.
Ich merke auch, dass das auch keinen Sinn hier macht, da pi ja die zahl nicht mehr ganz macht. Aber sagen wir Mal, ich würde rausbekommen, dass das tatsächlich so ist. Dass es für alle ganzen Zahlen multipliziert mit pi geht, würde ich dann beweisen, dass es für alle ganzen Zahlen geht?
Aus Falschem folgt Beliebiges. Da ist dann auch ein Beweis nicht mehr sinnvoll, wenn schon die Annahmen widersprüchlich sind.
Die Idee der vollständigen Induktion ist, das wenn es für die 0 gilt und für jeden Nachfolger, dann gilt es für alle Zahlen. Das geht nur mit den Natürlichen Zahlen (könnte man auf ganze und ratinale auch erweitern), da sie wohlgeordnet sind und jede Zahl einen Definierten Nachfolger besitzt.
Die vollständige Induktion ist nicht nur auf natürliche Zahlen anwendbar, sondern auf alle fundierten Mengen.
Welche Zahlen haben denn einen (eindeutigen) Nachfolger?
natürliche Zahlen.Stimmt. Das war ein guter Einwand.
Hm ja, gute Frage. Aber wieso ist das relevant? Also ich verstehe ja, dass der Nachfolger bei natürlichen Zahl klar bestimmt ist, undzwar 1 (soweit ich es verstehe). Bei anderen Zahlenmengen ist das tatsächlich etwas schwierig. Aber ist das wichtig, ich meine: wenn man wie folgt vorgeht:
Man setzt voraus, dass wenn die Gleichung XY für alle N werte gelten sollte, dann ja auch für die N Werte addiert mit einem beliebig großen Wert.
Würde nicht der Sinn vom Beweis der gleiche bleiben? Man muss ja nicht unbedingt einen "Nachfolger" definieren, oder?
Danke für deine Antwort!