Vollständige Induktion Induktionsschritt?

Aufgabe: 

Sei a eine ganze Zahl. Beweisen Sie: Für alle n ∈ ℕ = {1,2,3, ... } gilt:

(a-1) | (aⁿ -1) 

Ich würde hierfür die vollständige Induktion nehmen.

IA:

(a - 1) | (a¹ - 1) = (a - 1)

Das ist offensichtlich wahr.

IV: (a-1) | (aⁿ -1) ist wahr für ein n aus ℕ.

IS: Zu zeigen: dass es für n + 1 gilt, wenn es für ein n gilt

das macht mir jetzt irgendwie Schwierigkeiten. Also ich muss ja n mit n+1 ersetzen.

Also: a^(n+1)-1 ist durch (a-1) teilbar

Wie kann ich das beweisen?

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

a^(n+1) ist a*a^n.

a*a^n=(a-1+1)*a^n=(a-1)*a^n+a^n.

a^(n+1)-1 ist also (a-1)*a^n+a^n-1.

a^n*(a-1) teilt a-1, denn es ist ein ganzzahliges Vielfaches davon.

a^n-1 teilt laut IV a-1, kann also durch k*(a-1) ersetzt werden.

a^(n+1)-1 ist also gleich a^n*(a-1)+k*(a-1)=(a^n+k)*(a-1) und damit ein ganzzahliges Vielfaches von a-1.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[mihisu]

Hinweis:

$a^{n+1}-1=a^{n+1}-a^n+a^{n}-1$

Darin findest du nun a^n - 1 wieder und kannst nach Induktionsvoraussetzung nutzen, dass a^n - 1 durch a - 1 teilbar ist, es also eine ganze Zahl k mit a^n - 1 = k * (a - 1) gibt.

Es gibt dann also eine ganze Zahl k mit...

$a^{n+1}-1=a^{n+1}-a^{n}+k\cdot (a-1)$

Versuche damit nun weiter zu zeigen, dass es eine ganze Zahl k' gibt, sodass

$a^{n+1}-1=k'\cdot (a-1)$

ist, womit du dann gezeigt hättest, dass dann auch a^(n+1) - 1 durch a - 1 teilbar ist.

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Hier ein kompletter Lösungsvorschlag zum Vergleich:

Answer 3

[Dezin]

Eine ähnliche Lösung könnte so aussehen:

Hier wurde aus dem a^(n+1) ein a rausgezogen, und eine 0 eingefügt (das +a - a). Dann kann die Induktionsvoraussetzung verwendet werden.

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – pädagogischer Assistent für Mathematik