n^3+5n+2 durch 3 teilbar oder durch 4 teilbar?vollständige induktion?
Hey ich soll entscheiden ob diese gleichung für a) A(n) wahr ist und b) A(n)=>A(n+1) wahr ist.
hier ist mein ansatz für teilbar durch3 aba kann man bei b) durch meine umformungen darauf schließen, dass sie durch 3 teilnar ist?
Hier das Bild sorry
Kommt da noch ne Grafik oder sowas?
Ich sehe da nämlich weder einen Ansatz noch irgendwelche Umformungen.
Hatte internet Probleme
4 Antworten
"Durch 3" kann man leicht mit der Quersummenregel ausschließen. Für jede Zahl n, die durch 3 teilbar ist sieht man leicht dass die sich aus der Formel ergebende Zahl eben nicht durch 3 teilbar sein kann.
Für "Durch 4" ist der Induktionsanfang erfüllt. Nun mußt du halt in die Formel (n+1) einsetzen, dann (n+1)^3 und 5(n+1) ausmultiplizieren, zusammen fassen, n^3+5n+2 abspalten und schauen ob du zeigen kannst das der Rest durch 4 teilbar ist.
Sollte teilbar sein
Müsstest du nicht bei a) zeigen, dass
es für n = 1 stimmt, oder jedenfalls
für einen bestimmten Startwert?
Nein, du zeigst ja anschließend, dass es für die
folgenden Werte auch gilt. Wenn du es für
0 gezeigt hast und b) stimmt, hast du es damit
auch für 1, 2, ... gezeigt. Das ist ja die Idee
bei der Vollständigen Induktion.
Du hast es eben für n=0 und n=1 widerlegt, denn 2 und 8 sind nicht durch 3 teilbar.
Wenn die Induktion also "funktionieren" soll, musst du einen passenden Startwert finden.
Achso stimmt ja, und wie entscheide ich mit welcher Zahl ich beginne ist das egal?
Im Prinzip ja, aber du hast den Beweis nur ab der Startzahl.
Wenn du es für alle natürlichien Zahlen beweisen willst,
musst du bei 1 anfangen.
Also soll man immer mit Startwert 1 beginnen, wenn man es für alle natürlichen zahlen beweisen will?
Natürlich. Wenn du mit 10 anfängst, hast du es für 1-9 nicht bewiesen.
Ahh ok ich dachte man beginnt mit 0, da die null ja auch zu den natürlichen Zahlen gehört
Zu meiner Schulzeit noch nicht, aber wenn du die Null
mit drinhaben willst, musst du da anfangen. Nur kriegst du
die eh nicht rein, weil 2 weder durch 3 noch durch 4 teilbar ist.
Das von dir unterklammerte ist nach der Voraussetzung durch 3 teilbar. Jetzt versuch mal, ob du bei den anderen beiden Summanden eine 3 ausklammern kannst, dann ist der gesamte Ausdruck nämlich durch 3 teilbar.
Ob es überhaupt ein n gibt, sodass der Ausdruck durch 3 teilbar ist, solltest du dir aber noch überlegen.
Meinst du jetzt also n³+5n+2 ist nach Voraussetzung durch 3 teilbar und jetzt muss ich zeigen, dass der Rest auch durch 3 teilbar ist, da hab ich jetzt 3(n²+n+2) reicht das dann?
Jap, genau.
Wenn du es genau zeigen willst: Den unterklammerten Ausdruck kannst du nach der Voraussetzung als 3k schreiben, wobei k eben ein passender, nicht näher bestimmter Ausdruck ist.
Damit kannst du das insgesamt als 3(k+n²+n+2) umschreiben, und das ist nach der Definition der Teilbarkeit durch 3 teilbar.
Du solltest dir aber Gedanken machen, ob es überhaupt ein n gibt, dass du als Startwert nehmen kannst. 0 und 1 sind es ja schon mal nicht.
Ja neine also deswegen komm ich mit dieser Aufgabe nicht so ganz zurecht, weil laut Angabe soll ich ja a) und b) entscheiden also ob die wahr sind. Und die Aufgaben sind die oben genannte einmal für Teilbar durch 4 und einmal für Teilbar durch 3. Und laut Löser stimmt a) für Teilbar durch 4 und Teilbar durch 3 nicht aber b) ist für Teilbar durch 3 wahr.
Jetzt dachte ich ich soll das vl einfach so wie bei meiner Lösung oben am Bild zeigen und einfach annehmen das A(n) stimmt.
Achso. Ich dachte, du willst einen "standardmäßigen" Induktionsbeweis führen.
a) Also, die Aussage "A(n) ist durch 3 (4) teilbar" interpretiere ich als "A(n) ist für alle natürlichen n durch 3 (4) teilbar".
Das ist sowohl für 3 als auch für 4 falsch, wie A(1) bzw. A(0) zeigen. Damit stimmt diese Aussage eben nicht.
b) Für die Division mit 4 kann man leicht ein Gegenbeispiel finden. Tipp: Betrachte mal n=3 und n=4.
Für die Division mit 3 hast du ja bewiesen, dass die Implikation stimmt. A(n) ist zwar für kein n durch 3 teilbar, aber das tut ja nichts zur Sache für die Implikation. Aus falschen Annahmen können durchaus wahre Dinge folgen. Deshalb ist es immens wichtig, den Induktionsbeginn immer genau zu prüfen.
Ja ich hab ja für n=0 gezeigt, aber auch für n=1, darf man das nur für einen Wert zeigen? Ich dachte ich nehme 2 Beispiele