Vollständige Induktion von n^5-n durch 5 teilbar?

ich brauche dringend Hilfe.
meine Aufgabe lautet: Zeigen Sie, dass für alle n Element natürlicher Zahlen die Zahl n^5-n durch 5 teilbar ist.
dafür muss ich die vollständige Induktion machen und ich bin sehr verwirrt und bekomme es nicht hin. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

den Induktionsanfang bekommst Du ja wohl noch hin.

Danach ist zu zeigen, daß - wenn n^5-n durch 5 teilbar ist - auch
(n+1)^5-(n+1) durch 5 teilbar ist.

Multipliziere (n+1)^5 nach dem binomischen Lehrsatz aus:

(n+1)^5=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1

Davon wird noch (n+1) abgezogen.

Es bleibt n^5+5n^4+10n^3+10n^2+4n.

Laut Induktionsvoraussetzung ist n^5-n durch 5 teilbar.

Wenn Du das von n^5+5n^4+10n^3+10n^2+4n abziehst, von dem noch zu beweisen ist, daß es durch 5 teilbar ist, bleibt es auch durch 5 teilbar, wenn Du einen Term abziehst, der durch 5 teilbar ist.

Dann bleibt 5n^4+10n^3+10n^2+5n.

Daraus kannst Du 5 ausklammern:

5*(n^4+2n^3+2n^2+n).

Da der Term in der Klammer eine Summe von Potenzen natürlicher Zahlen mit natürlichen Exponenten ist, ist das Ergebnis auch eine natürliche Zahl, die Du k nennen kannst mit k Element N.

Und 5k ist natürlich ein natürliches Vielfaches von 5 und damit durch 5 teilbar.

Herzliche Grüße,

Willy

Answer 2

[LUKEars]

Induktionsanfang: n=1 (für n=0 geht es auch, falls jemand die Null für natürlich hält): 1^5-1=1-1=0 --- passt

Induktionsschluss: es sei die Behauptung bewiesen für n. Gilt sie dann auch für n+1? $(n+1)^5-(n+1) = n^5 + 5 n^4 + 10 n^3 + 10 n^2 + 5 n + 1 - n-1$ (n^5-n) ist teilbar durch 5 (gemäß Induktionsvoraussetzung)

+1 und -1 hebt sich weg...

siehst du was bei den anderen Summanden?

das Schlimmste war die Fleißarbeit (n+1)^5 auszurechnen...

oder?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Answer 3

[Tannibi]

Du müsstest zeigen, dass n^4+4 durch 5 teilbar ist.

Comments

[LUKEars]

echt?

[Tannibi]

@LUKEars

Ja.

[LUKEars]

@Tannibi

wieso sehe ich das nicht? 🙄

[Willy1729]

@LUKEars

Weil's da nichts zu sehen gibt.

[Willy1729]

5^4+4=?

[LUKEars]

@Willy1729

629? geht nich durch 5

wenn 1=0, dann bin ich Millionär... 😋

[Tannibi]

@Willy1729

Hab ich mich verrechnet mit dem Pascalschen Dreieck?

[Willy1729]

@LUKEars

Richtig. n^4+4 ist also nicht durch 5 teilbar. Aber was bedeutet das für die Aufgabe in der Frage? Überhaupt nichts.

[Willy1729]

@Tannibi

Aber hallo, und wie.

(n+1)^5=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1.

Davon (n+1) abziehen:

n^5+5n^4+10n^3+10n^2+4n.

Davon noch mal den Term abziehen, der nach Induktionsvoraussetzung durch 5 teilbar ist, nämlich n^5-n:

5n^4+10n^3+10n^2+5n=5*(n^4+2n^3+2n^2+n) - und das ist sicher durch 5 teilbar.

[Tannibi]

@Willy1729

Bei n^5+5n^4+10n^3+10n^2+4n ist 5n^4+10n^3+10n^2 durch
5 teilbar, bleibt n^5+4n, n ausgeklammert bleibt n^4 + 4.
Sorry, so hatte ich gerechnet.

[Willy1729]

@Tannibi

Da lag Dein Fehler. Du hättest n^5-n von n^5+4n abziehen sollen, dann wäre 5n übriggeblieben und damit eine durch 5 teilbare Zahl. Wenn Du dagegen n ausklammerst, was ja nicht unbedingt durch 5 teilbar ist, gewinnst Du nichts.

[Tannibi]

@Willy1729

Wenn n^4 + 4 durch 5 teilbar ist, gewinnt man doch was.
Dann ist n(n^4 + 4) auch durch 5 teilbar, unabhängig von n.
Ist nur eben der falsche Term.

[Willy1729]

@Tannibi

Dann schon. Aber blöderweise ist n^4+4 nur dann durch 5 teilbar, wenn n nicht auf 0 oder 5 endet.

[PMeindl]

eher n^4+5, oder?