Wie beweise ich diese Aussage mit vollständiger Induktion?
Ich brauche etwas Hilfe bei dieser Mathe Aufgabe
Ich muss folgende Aussage mit vollständiger Induktion beweisen:
9^n + 15 = "ist durch 24 teilbar"
Die Verankerung (1 für n einsetzen) habe ich bereits überprüft und sie ist korrekt
Jetzt habe ich n+1 eingesetzt und umgeformt
9^(n+1) + 15 =9*9^n + 15
nun komme ich aber nicht weiter
Danke für die Hilfe
3 Antworten
Für den Induktionsschritt musst du zeigen, dass 9^(n+1) + 15 durch 24 teilbar ist, wobei vorausgesetzt werden kann, dass 9^n + 15 durch 24 teilbar ist.
Die Induktionsvoraussetzung (dass 9^n + 15 durch 24 teilbar ist), kann man mit der Definition der Teilbarkeit ganzer Zahlen etwas umformulieren...
Und dementsprechend...
Es gibt also eine ganze Zahl q, so dass 9^n = q * 24 - 15 ist.
Das kannst du nun in 9^(n + 1) + 15 = 9 * 9^n + 15 einsetzen und erhältst...
Versuche dort nun 24 auszuklammern (was dir nun hoffentlich nicht mehr schwer fallen sollte), um zu zeigen, dass du 9^(n+1) + 15 in der Form r * 24 mit einer ganzen Zahl r darstellen kannst, womit die Teilbarkeit von 9^(n+1) + 15 durch 24 gezeigt ist.
9^(n+1) + 15 =9*9^n + 15 = 9^n + 15 + 8*9^n
Jetzt nutze die Voraussetzung und die Teilbarkeit des Terms rechts.
Induktionsvoraussetzung ist die Annahme, daß 9^n+15 durch 24 teilbar ist.
Nun gilt es zu zeigen, ob dies auch für n+1 gilt:
9^(n+1)+15=9×9^n+15=8×9^n+1×9^n+15=
=8×9^n+9^n+15
Da die Annahme gilt, 9^n+15 ist durch 24 teilbar, braucht nur noch geprüft werden, ob 8×9^n für alle n durch 24 teilbar ist.
8×9^n=8×(3^2)^n=8×3^2n=8×3×3^(2n-1)=
=24×3^(2n-1)
Und dieser Ausdruck ist für alle n durch 24 teilbar.
Somit ist bewiesen, daß 9^n+15 für alle n durch 24 teilbar ist.