Wie man beweist, ob eine Zahl durch eine andere Zahl vollständig teilbar ist?
Wie zum Beispiel 33105 von 15.
6 Antworten
Also es gibt ja Teilbarkeitsregeln:
Eine Zahl ist durch 2 teilbar wenn sie gerade ist.
Eine Zahl ist durch 3 oder 9 teilbar wenn die Quersumme 3 oder 9 teilbar ist.
Eine Zahl ist durch 4 teilbar wenn die letzten beiden Stellen durch 4 teilbar sind.
Eine Zahl ist durch 5 teilbar wenn die letzte Zahl eine 5 oder eine 0 ist.
Eine Zahl ist durch 8 teilbar wenn die letzte drei Stellen durch 8 Teilbar sind.
Eine Zahl ist durch 10 teilbar wenn die letzte Ziffer 0 ist.
Soweit so gut. Jetzt kommt der Clou. Man kann diese Regeln auch kombinieren. Eine Zahl ist also durch 15 teilbar wenn sie durch 3 und 5 teilbar ist.
33105 : 5 = nach der Teilungsregel durch 5 teilbar.
Die Quersumme von 33105 ist 12, 12 ist durch 3 teilbar, also ist 33105 auch durch 3 teilbar.
33105 ist also, wenn es durch 3 und 5 teilbar ist auch durch 3x5 also 15 teilbar.
Und das ist auch so, 33105:5=2207.
Die Teilungsregeln kannst Du glaube ich auch noch irgendwie beweisen, das müsstest Du dann aber noch mal eben irgendwo googeln.
Man Teilt 15 in seine Primfaktoren, allerdings wird z.b. 9 nicht in 3, 3 zerlegt:
5,3
Und überprüft die Bedingungen dafür(5: Zahl endet mit 0 oder 5, 3: Quersumme durch 3 teilber)
Für fünf sieht man sofort, dass es stimmt,
für die drei muss man ein bisschen rechnen:
33105
12
3
3 ist durch 3 teilbar also 33105 auch also ist 33105 auch durch 15 Teilbar. Hier folgen die Bedingungen für die am Häufigsten vorkommenden Zahlen(Weitere Sind häufig Komplizierter):
2: Letzte Ziffer durch 2 teilbar
3: Quersumme durch 3 teilber
4: letzten 2 Ziffern durch 4 Teilbar
5: letzte Ziffer durch 5 Teilbar
8: Letzte 3 Ziffern durch 8 Teilbar
9: Quersumme durch 9 teilber
man zerlegt in Primfaktoren und schaut, ob die 3 und die 5 ( wie oft ist egal ) vorkommt.
Fertig.
Indem man ein Produkt angibt, z.B. 2207 * 15 = 33105
Wenn man konkrete Zahlen hat, rechnet man das einfach aus.
Wenn eine allgemeine Form mit Variablen gegeben ist, z.B
dann muss man ein wenig nachdenken und versuchen den Dividenden geschickt zu faktorisieren oder man beweist per vollständiger Induktion.
Man teilt schriftlich.
Ja dass weiß ich aber dass ist nocht eine Bewies für meine Lehrer :)