Teilbarkeit durch 9?
ich soll zeigen dass für jede natürliche Zahl, dass sie genau dann durch 9 teilbar ist, wenn die Quersumme ihrer Dezimaldarstellung durch 9 teilbar ist.
wie zeig ich das
1 Antwort
Naja, betrachte jede natürliche Zahl als Darstellung der Form:
n=a0+10a1+100a2+1000a3+...+10^m*am, wobei a0,...,am Element von {0,...,9}.
-> n=a0+a1+9a1+a2+99a2+...+am+(10^m-1)*am
n=(a0+a1+...+am)+9(x)
n ≡ (a0+a1+...+am) (mod 9) =>
n ≡ 0 (mod 9) <-> a1+...+am ≡ 0 (mod 9) =>
9 | n <-> 9 | a1+...+am
Also ist n durch 9 teilbar, wenn a1+...+am durch 9 teilbar ist, das ist aber gerade die Quersumme, also sind wird fertig.
Je nachdem auf welchen Niveau du dich befindest (Uni, Schule) musst du einige Aspekte noch ein bisschen ausführen, z.B. warum 10^k-1 immer durch 9 teilbar ist (entweder kleiner Induktionsbeweis oder Moduloregeln)