Die Aufgabe ist sehr... merkwürdig. Was sollen bitte die Unterräume einer Matrix sein und wie soll eine Matrix 'nen Unterraum aufspannen? Ich könnte mir hier als Unterräume den Kern und das Bild vorstellen, die ja in gewisser Weise von der Matrix "erzeugt" werden, aber dann fehlen ja noch zwei Räume.

Klär uns mal bitte auf, um welche Räume es überhaupt gehen soll - das werdet ihr in der Vorlesung ja besprochen haben.

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Ja, du kannst jedes Polynom mit einem Summenzeichen schreiben, musst dann aber definieren, was die a_i sein sollen.

Beispielsweise kannst du P(x)=3x²-4x+1 auch darstellen als

Ist also etwas umständlich, das unbedingt so machen zu wollen. Diese Summendarstellung ist eher nützlich, wenn man etwas über Polynome beweisen möchte oder ein Polynom n-ten Grades hinschreiben möchte, ohne die Pünktchenschreibweise wie in deinem Bild zu verwenden. In Anwendungsszenarien sollte man eher auf die "direkte" Form des Polynoms zurückweisen.

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Berechne mal das angegebene Spatprodukt für allgemeine Vektoren x,y,z "per Hand" und mache das selbe für die Determinante der Matrix M. Da sollte dann (eventuell nach Umformungen) das selbe rauskommen.

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Öhm, wieso quadrierst du bitte? Du kannst die Funktion doch nicht einfach nach Belieben ändern.

Streng genommen müsstest du hier eine Integralsubstitution vornehmen, da du zum Ableiten ja die Kettenregel bräuchtest. Glücklicherweise ist die innere Funktion x+5 aber linear. Da dies der Fall ist, kann man die Wurzel "ganz normal" integrieren und muss dann nur durch die Ableitung der inneren Funktion teilen, hier also durch 1; soll hier heißen, man integriert im Prinzip nur die Wurzel, weil die Division mit 1 ja eh nix ändert.

Es geht vom Ansatz her so:



Du musst also nur (x+5)^(1/2) integrieren.

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Ja, passt so.

f'(-1)=0 sieht erst einmal so aus, als wäre da ein Extremum, aber da die Steigung im Wendepunkt 0 betragen soll (siehe Anmerkung mit der Tangente), ist das richtig.

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Bei P2 hast du dich vertan. Es soll ja f'(1)=12 gelten, du hast f'(12)=1 draus gemacht.

Die Gleichungen zu P1 und P3 passen.

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Gleichschenklig bedeutet ja, dass der Umfang mit der Formel U=2a+b berechnet werden kann. Der Umfang soll minimal werden, das ist hier deine Hauptbedingung. Das ist in, grob geschätzt, 95% der Aufgaben so.

Die Aufgabe ist tricky, weil es quasi zwei Nebenbedingungen gibt. Die Fläche hängt nämlich von einer der Seitenlängen und der Höhe des Dreiecks, einer neuen Größe, ab.

Die erste Nebenbedingung kommt wie gewohnt aus dem Flächeninhalt. Für die Fläche eines Dreiecks gilt ja A=(Grundseite * Höhe) / 2. Die Grundseite ist hier einfach b und die Höhe h habe ich hier als rote Linie eingezeichnet:

Für diese Aufgabe muss also (b*h)/2 = 5 gelten. Das ist die erste Nebenbedingung, aber die bringt uns jetzt nicht wirklich weiter, weil a gar nicht auftaucht, dafür aber sogar eine neue Variable h hinzukommt. Jetzt muss man ein wenig tricksen.

Gemäß Pythagoras gilt:

Das wäre die zweite Nebenbedingung, aber da schwirrt halt noch h mit drin. Nun kann man aber die erste Nebenbedingung nutzen, um das h aus der zweiten Nebenbedingung zu entfernen. Diese zweite Nebenbedingung nimmt man dann als "wahre" Nebenbedingung her und behandelt damit dann die Hauptbedingung.

In etwa so: Das h kann man jetzt aus der Gleichung kicken, indem man die erste Nebenbedingung 5=(b*h)/2 nach h umstellt:

Das setze ich nun in die zweite Nebenbedingung ein und erhalte:

Und das kann man nun in die Hauptbedingung einsetzen:



Ich hoffe, dass ihr den Rest mit 'nem Taschenrechner grafisch/näherungsweise bestimmen dürft. Die Ableitung wird nämlich per Hand wirklich ätzend.

Zur Kontrolle: b ist etwas weniger als 4cm lang, a hat die selbe Länge und der Umfang beträgt etwas mehr als 10cm. Das Dreieck ist somit sogar gleichseitig - das ist bei Extremwertaufgaben ja oft so, dass als ideale Form was rauskommt, wo alle Seiten gleich sind.

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Der Wendepunkt stimmt, bei der Steigung kommt es nicht ganz hin.

Es gilt ja f'(x)=3x²-8x und somit ist f'(4/3)=3*(4/3)²-8*(4/3) = -16/3 und nicht -20/3. Damit verändert sich natürlich die Tangentengleichung: h(x)=-16/3 * x + b, wobei du b jetzt natürlich auch neu bestimmen musst.

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Der linke Schnittpunkt liegt bei N( -0,5 | 0). Man muss die Funktion also um 0,5 Einheiten nach rechts verschieben, um deinen gewünschten Effekt zu erzielen.

Im Allgemeinen verschiebt man eine Funktion f(x) um k Einheiten nach rechts, indem man f(x-k) bildet. Analog dazu erhält man eine Verschiebung um k Einheiten nach links durch f(x+k). k steht hierbei eben für die Größe der Verschiebung.

Hier muss man also f(x-0,5) bilden. In diesem Fall wäre das:

f(x-0,5)=-(x-0,5)²+0,25

=-x²+x-0,25 + 0,25

=-x²+x

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Alternativ geht das auch, indem man sich überlegt, dass die "neuen" Nullstellen bei x=0 und x=1 liegen müssen. Wenn man die gesuchte Funktion g(x) dann in seine Linearfaktoren x-0 und x-1 zerlegt, erhält man g(x)=-(x-0)(x-1)=-x²+x

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Zu guter letzt kann man auch den Scheitelpunkt von der gesuchten Funktion ablesen und dann den Scheitelpunkt der neuen Funktion daraus herleiten; der Öffnungsfaktor bleibt der selbe und damit ist diese neue Funktion eindeutig definiert.

f hat seinen Scheitelpunkt bei S(0|0,25) und hat den Öffnungsfaktor a=-1. Die neue Funktion hat diesen Punkt dann bei S(0,5 | 0,25) und gemäß der Scheitelpunktform muss die neue Funktion dann -(x-0,5)²+0,25 lauten. Das läuft dann wieder auf -x²+x hinaus, genau wie in Methode 1.

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Ja. Man kann jede lineare Gleichung der Form a*x+b=c*x+d durch Umstellen auf die Form (a-c)*x+(b-d)=0 bringen. Das ist dann das selbe, als würde man die Nullstelle der Geraden y=(a-c)*x+(b-d) suchen.

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Stammt der Begriff daher, dass man es auch als Bruch auffassen kann, also a = 0/b und somit sagt, dass es keine a,b =/= 0 gibt (für b sowieso) die das erfüllen, es also keine "Nullteiler" gibt?

Nee, nicht wirklich. 0/b bzw. 0*b^(-1) setzt voraus, dass b ein inverses Element besitzt. Das ist ja gerade das, was Ringe von Körpern unterscheidet: Ringelemente haben nicht zwingend inverse Elemente.

[ Zudem legt 0/b eine Struktur nahe, die in gewisser Weise der der reellen Zahlen entspricht, nämlich dass die links- und rechtsseitige Multiplikation gleich ist. Das ist in Körpern zwar so, aber beispielsweise im Matrizenring ist das nicht so. Aus der Gleichung A=B*C für Matrizen A,B,C (B sei invertierbar) folgt erst einmal nur A=C*B^(-1) und nicht A=B^(-1) * C. Man würde also nicht A=C/B schreiben, weil daraus nicht klar wird, "von welcher Richtung" multipliziert wird.]

Der Begriff des Nullteilers geht einfach aus der formalen Definition von Teilbarkeit hervor: Ein Ringelement a ist durch ein Ringelement b teilbar, wenn es ein Ringelement c gibt, dass a=b*c erfüllt.

Wenn wir jetzt 0=a*b haben, würden a und b ja definitionsgemäß Teiler der Null sein. In Körpern will man die eben nicht haben (bis auf 0 selbst, aber es ist eh Definitionssache, ob man 0 als Teiler der 0 zulässt).

Wenn es dann aber Nullteiler gibt, dann ist der Ring kein Körper und es gibt (unter Umständen[?]) überhaupt keine Inversen, also keine Teiler. 

Ist eine Zahl a ein Nullteiler, so ist a nicht invertierbar; das solltest du für dich mal beweisen, vielleicht wird die Sache dann klarer.
Insbesondere ist der Ring dann kein Körper, wie du schon sagtest.
Anders herum gilt das aber nicht: Nicht jeder Nicht-Nullteiler ist invertierbar und nicht jeder nullteilerfreie Ring ist ein Körper. Versuche hierzu mal Beispiele zu finden und argumentiere, was für die Körpereigenschaften noch fehlt.

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Ein Eigenvektor v erfüllt für allgemein für Matrizen A die Beziehung

wobei k eine reelle Zahl ist, der sogenannte Eigenwert.

Soll im Bezug auf Populationsmatrizen heißen: Von einem Übergang zum nächsten werden alle Populationsgrößen mit dem selben Faktor multipliziert. Ein Eigenvektor ist quasi "stabiler" im Bezug auf die Matrix als andere Bestandsvektoren; man kann voraussagen, wie sich diese Population entwickeln wird: Wenn man bereits weiß, dass A*v=k*v gilt, so gilt dann auch nach etwas Umformen

, also A²*v = k²*v und allgemein gilt

Den Bestand beim n-ten Übergang kann man also berechnen, indem man einfach k^n*v rechnet, wobei k eben der Eigenwert ist. Man muss dann nicht mehr A^n per Hand ausrechnen.

Wenn man glücklicherweise den Eigenwert 1 hat, so ist v sozusagen der "Grenzvektor", denn dann gilt ja A^n * v = v für alle n. Die Matrix A hat dann keinen Einfluss mehr auf v.

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Wenn dein Eigenvektor bspw. v=(1, 3, 4) und dein Eigenwert bspw. 3 ist, so kann man für eine gegebene Übergangsmatrix A für den beispielsweise siebzehnten Übergangsvektor anstatt

 auch einfach

 rechnen. Das ist wesentlich einfach, weil 3^17 viel leichter als A^17 ist.

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Ich denke nicht, dass bei der b) nur die Mantelfläche gefragt ist, sondern auch die Seitenlängen. Eine davon ist natürlich die Höhe des Pools, die andere ist der Umfang der Bodenfläche. Bei b komme ich zudem auf M=2pi * 1,5 * 0,8 = 7,54m² und nicht auf 7,48m². Vielleicht hast du ganz grob gerundet?

Zu c) musst du im Prinzip nur berechnen, wie viel der Pool fassen würde, wenn er nur 70cm hoch wäre. Genau so viel Wasser passt dann ja da rein. Das Volumen musst du dann nur noch in Liter umrechnen ( 1m³=1000 Liter )

Die Volumenformel ist V=pi*r²*h, wobei r immer noch das selbe wie in a)-c) ist, nur die Höhe ist anders.

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Ich mach es mal für die schwarzen Ausdrucke. Versuch du es dann mal für die farblichen.

Gemacht werden 50000 Ausdrucke. Da man pro Füllung nur 3000 bekommt, braucht man 50000/3000=16,66666... Füllungen. Man muss also 17 Füllungen kaufen; das entspricht einem Preis von 17*70=1190€. Jetzt kommt da noch der Preis von 350€ für den Drucker an sich drauf, dann ist man bei 1540€. So viel kosten also die 50000 Seiten.

Eine Seite kostet im Schnitt dann 1540€/50000 = 0,0308, also etwa 3 Cent. Das kann man sich entweder logisch überlegen, oder man geht über 'nen Dreisatz (hier eher "Zweisatz"):

Seiten | Preis

50000 1540 | : 50000

1 0,0308

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Ich lege hier mal den Weg für eine e-Funktion dar. Die sind für eventuell andere Aufgabenteile im Normalfall handlicher (bzgl. der Ableitungen etc.)

Im Prinzip suchst du eine Funktion der Form f(x)=200+a*e^(bx) wobei gelten sollte:

Damit ist dann die Asymptote geregelt; denn es gilt dann (da f stetig ist):  Damit ist y=200 dann die Asymptote von f für große x.

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Setzt man den Punkt A ein, erhält man

 Somit lässt sich f(x) auch schreiben als



Der Punkt B liefert nun







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Damit ergibt sich:

_____

Alternativ hätte man auch die Exponentialfunktion von @AusMeinemAlltag zu einer e-Funktion umbasteln können, da a übereinstimmt.

Zur Umformung:

  Damit wäre f dann, wie oben auch:



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L schnappt sich eine Funktion f und schickt sie auf eine Funktion g, man weiß also zunächst "nur" L(f)=g. Sagt jetzt leider nur nicht allzu viel aus, g könnte ja alles mögliche sein. Um g eindeutig festzulegen, betrachtet man dann, was L(f) (also g) mit einer Zahl x "anrichtet: L ist so definiert, dass dieses g dann die Beziehung g(x)=f(x-2) erfüllt. Nichts anderes sagt (L(f))(x)=g(x)=f(x-2) aus.

Im Prinzip steht da also: Wenn ich zuerst L(f) bilde (das ist eine Funktion!) und in diese Funktion, man nenne sie g, dann x einsetze, soll das selbe rauskommen, als wenn ich x-2 in f eingesetzt hätte.

An und für sich ist hier nur wichtig: (L(f))(x)=f(x-2).

Nehmen wir beispielsweise mal f als die Quadratfunktion her:

Dann ist L(f)=g ziemlich nichtssagend, aber (L(f))(x)=g(x)=f(x-2) liefert alle Infos, die man über L(f) (also g) wissen muss. Man kennt die "Wirkung" von L(f) (also von g) auf x, denn es gilt (L(f))(x)=f(x-2)=(x-2)². L(f) bildet also jedes x auf (x-2)² ab.

Für x=3 wäre also (L(f))(3)=f(3-2)=f(1)=1²=1.

Was jetzt zu zeigen ist, sind die Eigenschaften einer linearen Abbildung, d.h.



f_1, f_2 und f sind hier dann aus V. Ich hab hier jetzt f_1 und f_2 als Bezeichnungen gewählt, weil g ja schon in der Definition vorkam. Was jetzt vielleicht ungewohnt ist, ist dass hier gar kein x vorkommt. Das liegt daran, dass L als Eingabeargument ja nur Funktionen annimmt und keine expliziten Zahlen. Damit man auch was "rechnen" kann, wird in diese Terme mit L(f), L(f_1) und L(f_2) nun x eingesetzt. Das ist ja in der Definition von L quasi auch schon passiert:



Im Prinzip musst du jetzt immer die linke Seite der Gleichung soweit aufdröseln, bis du die rechte Seite da stehen hast; oder halt von rechts nach links. Sinnvoll ist meistens beides.

Ich mache den ersten Schritt für die Addititvität mal vor:

Den Teil mit den drei Punkten musst du jetzt ausfüllen. Hierzu kannst du natürlich Sachen benutzen, die du über reellwertige, stetige Funktionen kennst; insbesondere die Eigenschaften aus der Erinnerung helfen hier. Wenn du von "links ausgehend" nicht weiter kommst, kannst du dich natürlich auch von rechts nach links arbeiten, d.h. du übersetzt den rechten Teil mit den L-Termen in die "Sprache" von f_1 und f_2.

Ähnlich geht es dann für die Homogenität.

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Unter der Wurzel musst du +8 rechnen, nicht -8. In der pq-Formel hast du ja -q am Ende stehen, und da hier q=-8 ist, ist natürlich -q=+8.

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