Aquivalenzrelation?
Hallo!
Mir ist während des Studiums den Begriff Äquivalenrelation begegnet und ich habe alles dahinter verstanden, aber ich bin mir nicht sicher, was das mir bringt oder wo kann ich das anwenden?
2 Antworten
Als Ergänzung zur Antwort von LoverOfPi:
Für eine Menge A und eine Relation
nennt man für a∈R die Menge
die Äquivalenzklasse des Elements a und schreibt dies kurz als [a]. In der Äquivalenzklasse des Elements a liegen also alle Elemente x, die zu a in Relation stehen. a nennt man hier auch den Repräsentanten der Äquivalenzklasse.
Nun lässt sich zeigen: Für beliebige m,n aus A gilt entweder:
[m] = [n]
oder
In Worten: Zwei beliebige Äquivalenzklassen sind entweder komplett identisch oder haben überhaupt keine Elemente gemeinsam.
Damit lässt sich dann zeigen, dass jede Äquivalenzrelation eine Darstellung der Menge A als Vereinigung aller Äquivalenzklassen ermöglicht.
Beispiel:
Sei A die Menge der natürlichen Zahlen und R die Relation x~y <=> x ≡ y mod 3
x ist also in Relation zu y, wenn x und y bei der Division mit 3 den selben Rest haben.
Dann ist bspw. [1] = {1, 4, 7, 10, 13...}, da diese Zahlen alle den Rest 1 bei der Division mit 3 haben.
Analog ist dann [2] = {2, 5, 8, 11, 14...} (Rest 2) und [3] = {3, 6, 9, 12, 15...} (Rest 0)
Du siehst, dass diese Mengen jeweils disjunkt sind; die Menge [1] hat kein Element mit [2] oder [3] gemein.
Nun sollte recht einfach ersichtlich sein, dass, wenn man die Mengen [1], [2] und [3] "zusammenpackt", wieder genau die Anfangsmenge, in diesem Fall also die Menge der natürlichen Zahlen herauskommt.
Das funktioniert mit jeder Äquivalenzrelation. Jede Äquivalenzrelation gibt eine Zerlegung vor (man sagt auch "induziert eine Zerlegung"), indem man die Menge in ihre Äquivalenzklassen bezüglich der Relation R zerlegt. Gleichsam gilt es auch rückwärts; jede Zerlegung der Grundmenge induziert eine Äquivalenzrelation.
So. Also nochmal:
Wir stellen uns erstmal die Frage: Was ist eine Relation? Eine Relation ist eine "Beziehung" (Ähnlichkeit zum englischen "relation") zwischen Dingen. Konkreter werden in der Mathematik häufig Relationen zwischen Elementen zweier Mengen A und B betrachtet.
Man schreibt das ganze als
Aber das weißt du ja schon.
Nun handelt es sich bei deiner Frage aber um die Äquivalenzrelationen, also jene, die die Eigenschaften
1) Transitivität
2) Symmetrie
3) Reflexivität
Beispiele sind: ≤,≥,= womit du schon den größten Nutzen gefunden hast. Jede Vergleichsoperation ist eine Äquivalenzrelation. Auch die Division mit Rest ist so ein Beispiel. Immer wenn du also Gleichheiten hast, oder Zahlen vergleichst, brauchst du Äquivalenzrelationen.
Außerdem kannst du damit Mengen in disjunkte Teilmengen einteilen, indem du jene paarweise äquivalente Elemente in einer Menge zusammenfasst.
Das würde niemals in einer Klausur vorkommen! Das ist sehr einfach! Könnten Sie vielleicht eine schwierige Aufgabe stellen?
Das kommt auf jeden Fall in den Übungen dran und ist nicht trivial, wenn man bloß die Axiome der reellen Zahlen hat. Eine schwerere stelle ich dir oben in die Antwort.
Ok wow! Das war echt kompliziert! Unser Professor hat uns dafür keine Aufgaben gegeben und er hat nur die Zahlarten und diese Teile der Äquivalenrelation so wie Transitivität oder Kommutavität und weitere andere Sachen, die ich in der Schule nicht gehört hatte, aber mir realistisch kommen.
Der letzte Teil habe ich nicht ganz verstanden. Könnten Sie das nochmal erklären. Und wie kommen dann die Aufgaben vor?
Ich habe zum letzten Teil mal eine eigene Antwort geschrieben. Das ist auf mathematischer Ebene interessant genug, um als eigener Beitrag hier zu stehen. Einen allzu "praktischen" (im Sinne von: "Damit kann ich jetzt tolle Sachen ausrechnen, die mir im echten Leben was bringen") Nutzen hat das ganze eher nicht; es ist eigentlich nur für Mathematiker interessant.
Wichtig ist erst einmal, dass du ein Gespür für die drei Eigenschaften von Äquivalenzrelationen gewinnst und ein paar Beispiele für Äquivalenzrelationen kennst.
Die Antwort ist so nicht richtig. Was du beschreibst, sind Äquivalenzaussagen, nicht Relationen.
Mathematisch gesehen bedeutet das:
Reflexiv: Jedes x ist relativ zu sich selbst
Symmetrisch: Ist x relativ zu y, so ist auch y relativ zu x
Transitiv: Ist x relativ zu y und y relativ zu z, so ist auch x relativ zu z
Okay! Ich glaube ich habs bisschen gerafft! Könnten Sie mir vielleicht so ein Beispiel in der Mathematik geben (eine Aufgabe, die den Professor in der Klausur stellen kann)