Das geht generell immer, wenn du einen Ausdruck der Form f(x)+g(x) als Integranden hast. Analog dazu gilt auch ∫ a * f(x) dx = a * ∫ f(x) dx, wobei a eine reelle Zahl ist.
Wolfram Alpha sagt das hier:
Dazu habe ich hier die y-Werte eingetragen.
Der Graph sieht dann so aus:
Du meinst sehr wahrscheinlich den Survivorship Bias.
Die beiden bisherigen Antworten verwenden Ableitungen. Wenn ihr das noch nicht hattet, geht es auch ohne.
Die Scheitelpunktform lautet ja f(x) = a(x-d)²+e, wobei d und e hier die x- bzw. y-Koordinate des Scheitelpunktes sind.
Hier gilt also f(x) = a * (x+0,5)²-17.
Um die Werte für die allgemeine Form zu bekommen, macht es Sinn, f(x) erst einmal in diese Form zu überführen. Hier muss man a jetzt erstmal als Konstante "mitschleppen" und schauen, was sich machen lässt. Zuerst wende ich die erste binomische Formel an:
f(x) = a * (x² + 2 * x * 0,5 + 0,5²) - 17
Nun zusammenfassen:
f(x) = a * (x² + x + 0,25) - 17
Nun löse ich die Klammer auf, indem ich den Term gemäß dem Distributivgesetz ausmultipliziere:
f(x) = a*x² + a*x + a*0,25 - 17
Sooo, das sieht doch schon mal ein bisschen nach der allgemeinen Form aus; da fehlen jetzt nur b und c drin...
Aber die Struktur stimmt doch schonmal: Man hat a*x², irgendwas mit x und einen Rest ohne x.
In der allgemeinen Form ist die Zahl vor dem x ja b; da hier vor dem x aber nun a steht, muss a=b gelten. Soll heißen: Wenn wir irgendwie a (oder b) herausfinden können, haben wir auch automatischen den anderen Wert.
Das Zeug ohne x ist hier interessant: Das wäre hier ja a*0,25 - 17. Das ist nun unser c aus der allgemeinen Form; praktischerweise ist aber c=-16 vorgegeben! Wir können also a*0,25 - 17 = -16 aufstellen und nach a lösen.
a * 0,25 - 17 = -16 | + 17
a * 0,25 = 1 | :0,25
a = 4
Und damit haben wir dann die allgemeine Form, denn nun kennen wir auch b: Aus a=b und a=4 folgt natürlich b=4 und insgesamt ergibt sich
f(x)=4x²+4x-16
Zu diesem Verfahren findest du online unter dem Stichwort "Koeffizientenvergleich" mit Sicherheit noch weitere Seiten, die dir beim Verständnis helfen können.
-----
Wenn a vorgegeben ist, ist die ganze Sache viel leichter. Dann musst du ja nur die Scheitelpunktform ausmultiplizieren (siehe oben) und hast direkt die allgemeine Form.
___
Wenn b vorgegeben ist, ist es ähnlich zu dem Vorgehen für c. Dann setzt du eben die Werte vor dem x mit dem vorgegebenen Wert gleich und nicht die Werte ohne x. Dadurch bekommst du dann a raus und kannst c berechnen.
Du hast hier ja ein Produkt zweier Funktionen, nämlich einmal x² und einmal e⁻³ˣ.
Hier kannst du leider nicht die einzelnen Faktoren ableiten und miteinander multiplizieren. Für Produkte gibt es eine spezielle Regel, die Produktregel:
Sind u und v Funktionen, so gilt (u * v)' = u' * v + u * v'.
x² sei nun u, e⁻³ˣ sei v.
Dann ist u'=2x und v' = -3 * e⁻³ˣ
Insgesamt ergibt sich dann:
f'(x) = 2x * e⁻³ˣ + x² * (-3) * e⁻³ˣ
= e⁻³ˣ * (2x-3x²)
Im letzten Schritt wurde hier mit dem Distributivgesetz ausgeklammert.
Das gilt, wenn f streng monoton steigend ist. Für x<y gilt dann nämlich f(x)<f(y).
Hier würde dann wegen x0<x0+h auch f(x0)<f(x0+h), also f(x0+h)-f(x0)>0 gelten.
Aus beiden Termen wurde -(x²+1) ausgeklammert. Dann bleibt vom linken Term noch x²+1 übrig, vom rechten 4x².
Als Ergänzung zur Antwort von LoverOfPi:
Für eine Menge A und eine Relation
nennt man für a∈R die Menge
die Äquivalenzklasse des Elements a und schreibt dies kurz als [a]. In der Äquivalenzklasse des Elements a liegen also alle Elemente x, die zu a in Relation stehen. a nennt man hier auch den Repräsentanten der Äquivalenzklasse.
Nun lässt sich zeigen: Für beliebige m,n aus A gilt entweder:
[m] = [n]
oder
In Worten: Zwei beliebige Äquivalenzklassen sind entweder komplett identisch oder haben überhaupt keine Elemente gemeinsam.
Damit lässt sich dann zeigen, dass jede Äquivalenzrelation eine Darstellung der Menge A als Vereinigung aller Äquivalenzklassen ermöglicht.
Beispiel:
Sei A die Menge der natürlichen Zahlen und R die Relation x~y <=> x ≡ y mod 3
x ist also in Relation zu y, wenn x und y bei der Division mit 3 den selben Rest haben.
Dann ist bspw. [1] = {1, 4, 7, 10, 13...}, da diese Zahlen alle den Rest 1 bei der Division mit 3 haben.
Analog ist dann [2] = {2, 5, 8, 11, 14...} (Rest 2) und [3] = {3, 6, 9, 12, 15...} (Rest 0)
Du siehst, dass diese Mengen jeweils disjunkt sind; die Menge [1] hat kein Element mit [2] oder [3] gemein.
Nun sollte recht einfach ersichtlich sein, dass, wenn man die Mengen [1], [2] und [3] "zusammenpackt", wieder genau die Anfangsmenge, in diesem Fall also die Menge der natürlichen Zahlen herauskommt.
Das funktioniert mit jeder Äquivalenzrelation. Jede Äquivalenzrelation gibt eine Zerlegung vor (man sagt auch "induziert eine Zerlegung"), indem man die Menge in ihre Äquivalenzklassen bezüglich der Relation R zerlegt. Gleichsam gilt es auch rückwärts; jede Zerlegung der Grundmenge induziert eine Äquivalenzrelation.
Da wird vermutlich nicht nur 5, sondern "5!" stehen. 5! ist 5*4*3*2*1, also auch 120.
Nein. Sie dienen hier nur dem Zweck, die beiden Potenzen visuell voneinander abzugrenzen.
Nehmen wir einfach mal irgendeine Zahl a. Sicherlich gilt dann doch a + (-a) = 0.
Jetzt nehmen wir noch irgendeine Zahl b, die nicht 0 ist, und multiplizieren beide Seiten dieser Gleichung mit -b:
( a + (-a) ) * (-b) = 0 * (-b)
Jetzt etwas vereinfachen:
-(a*b) + (-a) * (-b) = 0
Jetzt sieht man ja eigentlich schon, dass a*b = (-a) * (-b) sein muss, damit die Gleichheit gilt.
Das ist (mit etwas "Handwaving") ein Beweis, der im Prinzip nur die Peano-Axiome benutzt.
In jedem Tutorial werden immer nur ^2 und ^4benutzt.
Das liegt eben daran, dass die Substitution nur funktioniert, wenn alle Exponenten gerade sind. Bei deiner Funktion bleibt dir eigentlich nur übrig, eine Nullstelle zu raten und dann eine Polynomdivision durchzuführen, um an die restlichen Nullstellen zu kommen. (Oder du probierst einfach alle Teiler von 32 durch [wieso, siehe Satz über rationale Nullstellen] und findest dann heraus, dass deine Funktion praktischerweise drei ganzzahlige Nullstellen hat)
Im Allgemeinen gilt ja für z=a+bi ja
Wegen i = 0+1*i ist dann
Was kommt denn raus, wenn du auf beiden Seiten quadrierst? Erinnere dich daran, dass du am Ende zu zeigen hast, dass n eine Quadratzahl ist - kannst du den Ausdruck, der durch das Quadrieren entsteht, vielleicht als Quadratzahl darstellen?
Ja.
|b-a|= | -1*(a-b)| = |-1| * |a-b| = |a-b|.
Das ist (meines Wissens nach) ein derzeit noch ungelöstes Problem. Schau mal hier.
Naja, geh halt die verschiedenen a_(i k) durch. 16 Stück sind's an der Zahl.
Beispiel: a_(4 2):
Wegen 4 > 2 ist a_(4 2) = 4+2 = 6
Eine solche Funktion existiert immer (zumindest solange die Punkte alle verschiedene x-Koordinaten haben) und ist eindeutig. Die Existenz ist knifflig zu beweisen, aber letzten Endes kann man zeigen, dass es für n Punkte immer eine Funktion vom Grad n-1 gibt, die durch diese Punkte verläuft.
Die Eindeutigkeit ist hingegen recht simpel zu beweisen:
Angenommen, es gibt zwei Funktionen, die durch die vorgegebenen n Punkte gehen. Ich nenne diese Funktionen mal f(x) und g(x), und f(x) soll die Funktion mit dem höheren Grad sein. (Wenn beide Funktionen den selben Grad haben, ist es egal, welche Funktion f und welche g ist).
Dann hätte die Funktion f(x)-g(x) ja höchstens den Grad von f(x),also n-1.Zeitgleich hat diese Differenzfunktion aber genau so viele Nullstellen, wie Punkte vorgegeben sind. Für diese Punkte gilt ja gerade f(x)=g(x), also f(x)-g(x)=0. Somit hat f(x)-g(x) an jedem der vorgegebenen Punkte eine Nullstelle.
Nun hat man hier aber eine Funktion, die mehr Nullstellen als ihr Grad hat. Eine Funktion vom Grad k kann aber maximal k Nullstellen haben. Hierbei gibt es eine Ausnahme: Das Nullpolynom. Das ist einfach eine Funktion, die jeden x-Wert auf 0 abbildet, d.h. h(x)=0 für alle x.
Es muss also f(x)-g(x) = h(x) = 0 für alle x gelten. Daraus folgt dann natürlich unmittelbar f(x)=g(x). Also ist f(x) eindeutig.
Deine Zielfunktion stimmt soweit. Jetzt musst du nur noch schauen, für welches a die Funktion ihr Maximum annimmt.
Die Maße ergeben sich dann aus dem Doppelten von a (da das Rechteck ja von der y-Achse in zwei Teile geteilt wird) und dem Funktionswert der Funktion f an der Stelle a.
Du nimmst an, dass es einen Grenzwert, also a, gibt, und führst dies dann auf einen Widerspruch, genauer: Finde dann ein ε, für das (ab einem gewissen n) |an-a| ≥ ε gilt.