Stammt der Begriff daher, dass man es auch als Bruch auffassen kann, also a = 0/b und somit sagt, dass es keine a,b =/= 0 gibt (für b sowieso) die das erfüllen, es also keine "Nullteiler" gibt?

Nee, nicht wirklich. 0/b bzw. 0*b^(-1) setzt voraus, dass b ein inverses Element besitzt. Das ist ja gerade das, was Ringe von Körpern unterscheidet: Ringelemente haben nicht zwingend inverse Elemente.

[ Zudem legt 0/b eine Struktur nahe, die in gewisser Weise der der reellen Zahlen entspricht, nämlich dass die links- und rechtsseitige Multiplikation gleich ist. Das ist in Körpern zwar so, aber beispielsweise im Matrizenring ist das nicht so. Aus der Gleichung A=B*C für Matrizen A,B,C (B sei invertierbar) folgt erst einmal nur A=C*B^(-1) und nicht A=B^(-1) * C. Man würde also nicht A=C/B schreiben, weil daraus nicht klar wird, "von welcher Richtung" multipliziert wird.]

Der Begriff des Nullteilers geht einfach aus der formalen Definition von Teilbarkeit hervor: Ein Ringelement a ist durch ein Ringelement b teilbar, wenn es ein Ringelement c gibt, dass a=b*c erfüllt.

Wenn wir jetzt 0=a*b haben, würden a und b ja definitionsgemäß Teiler der Null sein. In Körpern will man die eben nicht haben (bis auf 0 selbst, aber es ist eh Definitionssache, ob man 0 als Teiler der 0 zulässt).

Wenn es dann aber Nullteiler gibt, dann ist der Ring kein Körper und es gibt (unter Umständen[?]) überhaupt keine Inversen, also keine Teiler. 

Ist eine Zahl a ein Nullteiler, so ist a nicht invertierbar; das solltest du für dich mal beweisen, vielleicht wird die Sache dann klarer.
Insbesondere ist der Ring dann kein Körper, wie du schon sagtest.
Anders herum gilt das aber nicht: Nicht jeder Nicht-Nullteiler ist invertierbar und nicht jeder nullteilerfreie Ring ist ein Körper. Versuche hierzu mal Beispiele zu finden und argumentiere, was für die Körpereigenschaften noch fehlt.

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1/x-1/y = (y-x)/(xy) = -(x-y)/(xy)

Damit gilt dann

|f(x)-f(y)|=| 1/2 (x-y) - (x-y) / (xy) |

Hilft das vielleicht schon?

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52468 ist dann durch 3n teilbar, wenn eine ganze Zahl k existiert, die der Gleichung 3n*k=52468 genügt. Das ist die Definition von Teilbarkeit durch 3n. Sei mal ehrlich, hast du das auch so aufgestellt, oder hast du lediglich 3n=52468 nach n aufgelöst und gesehen, dass n nicht ganz sein würde?

Dann hast du nämlich nur bewiesen, dass 52468 nicht durch 3 teilbar ist; aber folgt daraus, dass 52468 auch nicht durch 3n teilbar ist? Könnte es nicht genügen, dass 52468 durch n teilbar sein könnte? Ich meine, für Leute, die fit in Mathe sind, ist das klar; natürlich muss 52468 durch die beiden Faktoren 3 und n teilbar sein; aber wer da nicht so geübt ist, könnte durchaus behaupten, man könne als n einfach einen Teiler von 52468 wählen, um die Teilbarkeit durch 3n zu garantieren.

Ich bezweifle, dass man als Schüler die Implikation, die du benutzt, namentlich

im Kontext dieser Aufgabe auf Abruf parat hat - insbesondere, wenn man sich noch nie über abstrakte Teilerregeln Gedanken gemacht hat.

Das Problem ist hier einfach der fehlende Formalismus an der Schule. Was heißt "ohne Rest"? bzw. "teilbar" auf formaler Ebene? Das lernt man in der Schule nicht. Auf der anschaulichen Ebene kriegen die meisten Schüler es noch hin, Teilbarkeit zu beschreiben, aber sobald man diese Ebene verlässt (wie in deiner Aufgabe), braucht man eben die formale Ebene.

Zu sagen, 52468 sei nicht durch 3 teilbar, ist zwar das Kernargument, aber hast du damit einen intuitiven und vollständigen Beweis erbracht? Die eigentliche Argumentation hast du in deinem Text ja unerwähnt gelassen.

Im ersten Semester eines Mathestudiums hätte ein Korrekteur dir wohl ein "Warum?" an die Lösung geschrieben, wenn du "52468 ist nicht durch 3n teilbar, weil 52468 nicht durch 3 teilbar ist" abgegeben hättest.

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Es muss ja gelten: (alpha, beta+gamma, delta-epsilon)=(0,0,0), also

alpha=0
beta+gamma=0
delta-epsilon=0

Das ist ein lineares Gleichungssystem in den Variablen alpha, ... , epsilon. Bestimme davon die Lösungsmenge. Wenn du dann die "Werte" in R_4[X] einsetzt, erhältst du die Polynome im Kern. Für diese Polynome musst du dann nur noch eine Basis basteln.

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Schreibe in die Matrix noch die 2x2-Einheitsmatrix rein, also so:

Ich hab es hier noch farblich abgetrennt, um es übersichtlicher zu halten. Um jetzt die Inverse zu bestimmen, bringst du den linken Teil mit Zeilenoperationen auf die 2x2-Einheitsmatrix. Die selben Operationen führst du rechts auch durch. Dann hast du am Ende rechts die Inverse stehen.

Das könnte so aussehen:

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Wenn P an der Stelle z konvergiert, z also im Konvergenzradius liegt, dann konvergiert auch dein F(z). 1+3z konvergiert als Polynom sowieso in z, und an P(z) wurde an sich ja nichts geändert.

Anders herum ist es auch so: Wenn z nicht im Konvergenzradius liegt, so divergiert F(z).

"Beweis":

Für den Konvergenzradius r einer Potenzreihe mit der Koeffizientenfolge a_k gilt ja:



(Bzw. streng genommen

, aber wenn der Limes existiert, ist der Limes eben gleich dem limes superior. Wenn der erste Ausdruck aber nicht existiert, prüft man eben den zweiten ab)

Der Radius hängt also nur von der zugrunde liegenden Koeffizientenfolge ab. Ab n=3 ist die Koeffizentenfolge von F gleich der von P, wie du schon sagtest. Insbesondere sind die Grenzwerte/limes superior (und damit die Konvergenzradien) gleich.

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Hier gilt bei Schnittpunkten wie immer, die Funktionen gleichzusetzen.

Das führt dann zu x^4-3,25x²+2,25=x²-1. Jetzt bring mal die rechte Seite nach links und ersetze x² mit z. Wieso? Es gilt doch x^4 = (x²)². Dann wird x^4 also zu z² und x² zu z. Dann kannst du die so entstehende quadratische Gleichung in z lösen und dann wieder auf x zurückrechnen.

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Wenn du in Fall 2 mit x+1 multiplizierst ist x+1 wegen -1<x<0 nicht negativ. Hier dreht sich das Relationszeichen also nicht und es gilt:

1> x/(x+1) ⟺ x+1 > x ⟺ 1>0

Für alle x mit -1<x<0 ist also 1/x < 1/(x+1) erfüllt.

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Bei b) musst du im Prinzip nur zeigen:

Ich hab hierzu einfach nur T(t) mit der vorgegebenen Funktion ersetzt. Die Gültigkeit dieser Gleichung kannst du zeigen, indem du die linke Seite ausrechnest, also die Funktion ableitest, und die rechte Seite etwas zusammenfasst.

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Ich bekomme da mit dem Rechner am Ende was mit e^(-x) raus.

Die Ableitung, die du angegeben hast, ist fast korrekt. Du hast dich da nur mit dem letzten Vorzeichen in der zweiten Ableitung vertan. Es ist ja u=-2x und v=e^(-x), damit ist u'=-2 und v'=-e^(-x). Am Ende muss es also -2e^(-x) heißen, nicht +.

Jetzt kann man noch e^(-x) ausklammern und erhält:

f'(x)=e^(-x) * (-x²+2x+2x-2), bzw. f'(x)=-e^(-x) * (x²-4x+2).

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Ich denke, wenn man jetzt f°f* zu f*°f umschreibt (darf man, da f normal ist), kommt g°g* raus. Hab es jetzt aber nicht nachgerechnet. Dein Auseinanderziehen sollte so passen.

So passt es auch für jedes Skalar, aber ich denke mal, für euch sind eben nur Eigenwerte relevant. f-lambda*id schreit ja förmlich nach Eigenräumen.

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Ich bezeichne mal die Aussage "Die Rekursionsformel stimmt für ein Tupel (k, n)" als A(k, n).

Wenn du es per Induktion zeigen magst, musst du zwei Sachen zeigen:

A(k, n) ⇒ A(k+1, n)

A(k, n) ⇒ A(k, n+1)

Soll heißen, du fixierst jeweils einen Buchstaben als Variable, den anderen als Konstante, und führst dann zwei Induktionen. Daraus folgt dann A(k, n) ⇒ A(k+1, n+1). Das ist dann ja, was du eigentlich zeigen wolltest.

_____

Es geht aber auch ohne Induktion direkt über die Definition der Polynome, das ist wesentlich leichter. Wenn du magst, kann ich dir dazu eine Beweisskizze andeuten. Schon mal ein Tipp: Schreibe die Beta-Sachen der rechten Seite der Gleichung mal mit der Definition aus und fasse es zusammen. Dann hast du das Ergebnis schon fast.

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Polynome in der linearen Algebra sind eigentlich "nur" Folgen, deren Glieder ab einem gewissen Index alle 0 sind. Bspw. beschreibt die Folge mit den Gliedern 3,2,4,0,0... ein Polynom, das man mit Hilfe des Einsetzungshomomorphismus in die Form f(x)=4x²+2x+3 überführen kann. Diese Form kennst du ja aus der AnaIysis.

Dein P hat ja die Form aT²+bT+c mit a,b,c aus K. Dann gilt P'(T)=2aT+b. Zweifelsohne ist P(0)=c und man erhält F(P)=T*(2aT+b)-2*(aT²+bx+c)+2c.

Reicht das erst einmal?

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Zunächst wurde 0,5y und 0,333...z nach links gebracht und der Rest auf der rechten Seite zusammengefasst. Man erhält:

x-0,5y-0,333...z=-0,8333...

Dann wurde die Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner der Brüche 0,5, 0,333... und -0,8333... multipliziert. Das ist in diesem Fall 6. Somit verschwinden die Kommazahlen und man hat eine schönere Form der Ebene.

Das mit der Multiplikation mit 6 ist aber nicht notwendig. Man macht das nur, um ganze Zahlen drin zu haben.

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Das geht am besten mit Alt+Tab.

Wenn du die Special Edition spielst, macht Skyrim da hoffentlich keine Probleme mehr.

Weil Skyrim in der "Originalfassung" (also nicht die Special Edition) damit aber gerne rumzickt, nimmst du am besten diese zwei Mods dazu:

https://www.nexusmods.com/skyrim/mods/36125

https://www.nexusmods.com/skyrim/mods/36177

Dazu brauchst du dann noch den SKSE:

https://skse.silverlock.org/

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Zu b:

Wenn man streng nach der Aufgabe geht, muss man den Ansatz f(x)=ax³+bx²+cx+d wählen. Setzt man die beiden Nullstellen und den Hochpunkt (einmal die Koordinaten und einmal den Ableitungswert) ein, erhält man somit ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten, dessen Lösungsmenge gerade aus den Vorfaktoren a,b,c,d besteht.

Dein Ansatz ist natürlich einfacher. Man nehme f(x)=a*(x-3)*x². Das a ist hier wichtig. Es gibt unendlich viele Funktionen dritten Gerades mit den vorgegebenen Nullstellen, die sich in ihrer Nullstellenform nur um diesen Faktor a unterscheiden. Genau diesen muss man also noch herausfinden. Dazu setzt man den Punkt P(2|4) ein:

a*(2-3)*2²=4

Jetzt nach a auflösen, fertig, dann die Funktion hinschreiben. Zur Kontrolle: a=-1

__________

Zu c:

Am besten bringt man f erst einmal in die ausmultiplizierte Form und integriert dann gliedweise:

f(x)=-x³+3x² ⇒ F(x)=-1/4 * x⁴ + x³ + C

Das C ist hier die sog. Integrationskonstante, denn es gibt unendlich viele Funktionen, deren Ableitung f ist. Sie untercheiden sich nur um die Addition einer Konstante. Ähnlich wie bei b) muss man also die "charakteristische" Zahl der gesuchten Funktion suchen

Jetzt setzt man den Extrempunkt in den Protoypen für die Stammfunktion ein, wodurch man

6,75=-1/4 * 3⁴ + 3³ + C

erhält. Löst man die obige Gleichung nach C auf, ist man fertig und muss nur noch die Stammfunktion mit dem entsprechenden Wert für C aufschreiben.

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Ja, bin sogar ziemlich gut.

Mir fehlt eine Option zwischen "ziemlich gut" und "langsam". Mit meinem Gan 354M hab ich 'nen Average von 55 Sekunden. Das ist nicht sonderlich schnell, aber auch nicht so langsam wie Anfänger. Bislang kann ich aber auch nur F2L und halt die Beginner Method mit 'nem kleinen Skip im letzten Layer.

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