Ist meine Polynomfunktion richtig?
Hallo, ich hätte eine Frage. Wenn ich vier Punkte habe, kann ich dann ein Polynom mit dem höchsten Grad 3 eindeutig bestimmen ? Also bekomme ich nur eine mögliche Funktion oder die einzige mögliche Funktion.
Ich habe das Problem, ich habe die Punkte A(0/4) B(1/7) C(2/20) und D(3/49) von der Funktion f(x)=x³+2x²+4 übernommen, damit ich mit einem Differenzenschema üben kann, um ein Polynom dritten Grades zu bestimmen, dass durch diese Punkte geht. Leider habe ich jetzt eine völlig neue Funktion herausbekommen, die heißt: g(x)= (7/6)×x³ +(3/2)×x² + (1/3)×x + 4.
Diese Funktion geht genauso durch die Punkte A bis D. Leider verstehe ich nicht, wie das passieren kann, da normalerweiße durch 4 gegebene Punkte genau die gleiche Funktion herauskommen sollte
Über Hilfe wäre ich sehr dankbar, danke:)
2 Antworten
Diese Funktion geht genauso durch die Punkte A bis D.
Eben nicht
Eine solche Funktion existiert immer (zumindest solange die Punkte alle verschiedene x-Koordinaten haben) und ist eindeutig. Die Existenz ist knifflig zu beweisen, aber letzten Endes kann man zeigen, dass es für n Punkte immer eine Funktion vom Grad n-1 gibt, die durch diese Punkte verläuft.
Die Eindeutigkeit ist hingegen recht simpel zu beweisen:
Angenommen, es gibt zwei Funktionen, die durch die vorgegebenen n Punkte gehen. Ich nenne diese Funktionen mal f(x) und g(x), und f(x) soll die Funktion mit dem höheren Grad sein. (Wenn beide Funktionen den selben Grad haben, ist es egal, welche Funktion f und welche g ist).
Dann hätte die Funktion f(x)-g(x) ja höchstens den Grad von f(x),also n-1.Zeitgleich hat diese Differenzfunktion aber genau so viele Nullstellen, wie Punkte vorgegeben sind. Für diese Punkte gilt ja gerade f(x)=g(x), also f(x)-g(x)=0. Somit hat f(x)-g(x) an jedem der vorgegebenen Punkte eine Nullstelle.
Nun hat man hier aber eine Funktion, die mehr Nullstellen als ihr Grad hat. Eine Funktion vom Grad k kann aber maximal k Nullstellen haben. Hierbei gibt es eine Ausnahme: Das Nullpolynom. Das ist einfach eine Funktion, die jeden x-Wert auf 0 abbildet, d.h. h(x)=0 für alle x.
Es muss also f(x)-g(x) = h(x) = 0 für alle x gelten. Daraus folgt dann natürlich unmittelbar f(x)=g(x). Also ist f(x) eindeutig.