Du fängst mit der größeren Zahl an, also mit der, die auf dem Zahlenstrahl weiter rechts liegt. Es ist -2>-4, also berechnest du F(-2)-F(-4).

Wie du schon sagtest, musst du aber aufpassen, dass du nicht einfach über Flächen unter der x-Achse "durchintegrierst", sondern das häppchenweise machst.

...zur Antwort

Zunächst lässt sich erkennen, dass wegen 4=2² die Gleichheit
4^(x+1)=2^(2*(x+1))=2^(2x+2) gilt. Danach nimmst halt einen Logarithmus zur Basis deiner Wahl (es bietet sich hier die 2 an) und benutze die Rechenregeln log₂(a*b)=log₂(a)+log₂(b), log₂(a^b)=b*log₂(a) und log₂(2)=1 :





...und das ist jetzt nur noch 'ne lineare Gleichung, die ist ja jetzt eigentlich kein Problem mehr.

...zur Antwort

Zeige zunächst: Ist k eine gerade natürliche Zahl, so ist k² gerade.

Benutze dann dieses Ergebnis, um zu zeigen, dass (m+n)² gerade ist. Du kannst den Beweis von oben auch direkt hier mit m+n anstatt k führen, aber ich finde es stilvoller, solche Hilfsbeweise am Anfang zu führen.

Folgere daraus, dass m²+n² gerade sein muss.

...zur Antwort

Das Signum einer Permutation f ist (-1) hoch Anzahl der Fehlstände der Permutation. Ein Fehlstand entsteht, wenn a<b, aber f(b)<f(a) ist.

Wenn du nun jedes Element auf sich selbst abbildest, entsteht kein Fehlstand. Damit gilt sig(id)=(-1)^0 = 1

...zur Antwort

Ich schätze mal, ihr macht das noch mit der h-Methode und dürft die hier bereits genannten Ableitungsregeln noch nicht benutzen. Dazu musst du also

bestimmen. Setze nun erst einmal x0=4 ein und löse dann so weit auf, wie es geht. Das bedeutet, löse das Binom auf, multipliziere dann die -3 rein und dann fasse alles zusammen. Damit solltest du auf einen Restausdruck kommen, in dem nur noch h vorkommt.

...zur Antwort

Ja, das passt soweit. Du musst halt manuell jedes Axiom abklappern. Bei der Multiplikation ist das etwas mühsam, aber machbar. Letzten Endes geht es dann wegen der Körperstruktur von R immer auf.

Lediglich das multiplikative Inverse zu x^(-1) zu einem x=(a,b) ist etwas lästig. Dazu kannst du ein Gleichungssystem lösen. Stelle dazu die Beziehung x * x^(-1) = 1_M auf, wobei 1_M die neutrale Einheit bezüglich der Multiplikation in C ist.

...zur Antwort

Den ersten Teil, also "Alle Menschen, die Kinder sind, haben eine biologische Mutter" finde ich so halb in Ordnung. Ich würde das zu "Alle menschlichen Kinder haben eine menschliche Mutter" ändern, damit die Domain alleine aus dem Satz klar wird, und menschlich sollte die Mutter auch sein. Klar, eine biologische Mutter eines Menschenkindes ist natürlich selbst menschlich, aber gerade am Anfang eines Studiums (ich vermute, dass das bei dir so ist), wird sowas gerne mal rot angestrichen. Gaaaanz streng genommen wurde "biologisch" hier ja auch nicht definiert. Ein weiterer Grund, eher "menschliche" als "biologische" Mutter zu nehmen.

_____

Zum zweiten Teil:

Es wird ja gesagt, dass (mindestens) ein x existiert, sodass für alle y die Relation R(x,y) nicht gilt. Die Aussage schreibt also die Existenz eines x mit einer gewissen Eigenschaft vor, nicht eines y.

Soll im Sachkontext heißen:

Es existiert (mindestens) ein Kind, sodass für jede Mutter gilt, dass sie nicht die Mutter dieses Kindes ist, oder natürlicher und mit der Domain: Es gibt menschliche Kinder ohne menschliche Mütter.

_____

Das wäre alles, was in der Aufgabe gefragt ist. Die Aussage an sich ist natürlich falsch, wie man auch aussagenlogisch beweisen kann. Das ist zwar nicht mehr nötig, aber vielleicht eine ganz gute Übung. Tipp: Zeige, dass der zweite Teil die logische Negation des ersten Teils ist. Kann die Aussage damit insgesamt wahr sein.

...zur Antwort

 Du betrachtest ja eine alternierende Reihe, also eine Reihe der Form



Aus dem Beweis des Leibnizkriteriums kann man nun allgemein herleiten: Wenn eine alternierende Reihe mit der "Grundfolge" a_n nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert (wenn die "Grundfolge" a_n also eine monoton fallende Nullfolge ist), so gilt die Abschätzung



(Beweis siehe hier)

Soll für dich auf die Aufgabe bezogen heißen: Bricht man die Reihenentwicklung einer Funktion ab einem Index k ab, kann man den Fehler (denn das ist ja diese Differenz, die im Betrag steht) betragsmäßig gegen die k+1-te Partialsumme abschätzen. Die linke Seite kürzt man nun der Übersicht halber mit δ ab.

_____

Deine Grundfolge a_n ist nun diese hier:

Die ist monoton fallend und eine Nullfolge, also konvergiert die dazugehörige alternierende Reihe, die du ja eigentlich betrachtest, nach dem Leibnizkriterium. Damit greift die Fehlerabschätzung, die ich oben angesprochen habe:



Nun wurde ja oben im Text gezeigt, dass man das n-te Glied der Folge a_n echt kleiner gegen 1/16^n abschätzen kann. Dann gilt für die Abschätzung des k+1-ten Glieds:



...zur Antwort

Bei euch bezieht sich die Achsensymmetrie auf die y-Achse und die Punktsymmetrie auf den Ursprung. Funktionen können aber nicht nur zur y-Achse achsensymmetrisch sein, und auch nicht nur zum Ursprung symmetrisch.

Betrachte bspw. f(x)=x²-2x+1. Das ist die Normalparabel um eine Einheit nach rechts verschoben. Die Normalparabel g(x)=x² ist ja achsensymmetrisch (zur y-Achse) und f(x) ist dann eben achsensymmetrisch zur Achse x=1. Hier greift also das Kriterium "nur gerade Exponenten" bzw. f(x)=f(-x) nicht.

Ähnlich ist es bei der Punktsymmetrie. h(x)=x³-6x²+12x-5 entsteht, indem man die Funktion i(x)=x³ um 2 nach rechts und 3 nach oben verschiebt. i(x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, und h(x) ist damit punktsymmetrisch zum Punkt P(2|3), da der Bezugspunkt O(0|0) ja verschoben wurde. Ähnlich wie oben greift hier das Kriterium "nur ungerade Exponenten" oder aber f(-x)=-f(x) nicht.

...zur Antwort

Bitte nicht Element und Teilmenge durcheinander werfen. Das gibt Punktabzug!

x ist nicht Element von A, sondern per Definition von P(A) eine Teilmenge von A. Damit ist x auch eine Teilmenge von B, womit x ein Element von P(B) ist. Somit gilt, dass P(A) eine Teilmenge von P(B) ist. Die Gleichheit gilt hier noch nicht!

Nun musst du noch zeigen, dass P(B) auch eine Teilmenge von P(A) ist. Nimm dir dazu ein y aus P(B) und zeige, dass es auch in P(A) liegt. Die Argumentation ist natürlich sehr ähnlich...

...zur Antwort

Zeige zunächst: Die Teilfolgen für gerade n und ungerade n konvergieren gegen 0. Zeige dann, dass jede andere Teilfolge automatisch auch eine Teilfolge der oben genannten Teilfolgen (eventuell beider gleichzeitig) ist, woraus folgt, dass auch diese Teilfolgen gegen 0 konvergieren, woraus die Konvergenz der "Gesamtfolge" gegen 0 folgt.

Die Voraussetzung hierzu ist lediglich, dass bereits gezeigt wurde, dass alle Teilfolgen einer Folge genau dann gegen einen einzigen Grenzwert konvergieren, wenn die Folge gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.

...zur Antwort

Der Schluss setzt voraus, dass es überhaupt ein "mittleres" Pferd gibt. Ist das für n=2 Pferde denn so?

...zur Antwort

Naja, zu zeigen ist zunächst für alle x,y,z aus A:

x~x (Reflexivität)
x~y => y~x (Symmetrie)
x~y und y~z => x~z (Transitivität)

Bestehen da denn Probleme, oder geht es dir eher um die Partition?

...zur Antwort

Es müsste so heißen:



Die rechte Seite der Gleichung ist also falsch, deshalb klappt der Induktionsanfang nicht.

...zur Antwort

Aus der ersten Gleichung folgt y=x²/7, das erhält man durch Umformungen.

Wenn man also y=x²/7 jetzt in die zweite Gleichung einsetzt (also y mit x²/7 substituiert), erhält man

-21x+3*(x²/7)²=0, bzw. -21x+3x³/49 = 0.

Diese Gleichung löst man jetzt nach x auf. Es bietet sich an, zunächst ein x auszuklammern. Kommst du mit diesen Ausführungen jetzt selber weiter?

...zur Antwort

Ich hab es mittlerweile mit anderweitiger Hilfe lösen können. Wenn also jemand mal auf diese Frage stößt und an einem Ansatz interessiert ist:

Der Ansatz war, (A-Lambda*I)*v als a_0*v+a_1*v_1+...+a_(n-1)*v_(n-1) darzustellen, das ist ja möglich, weil B eine Basis von V ist. Dann berechnet man eben
(A-Lambda*I) * (A-Lambda*I)*v und ersetzt entsprechend rechts (A-Lambda*I)*v durch diese Basisdarstellung. Damit rechnet man ein wenig herum, nutzt aus, dass die v_i Eigenvektoren von A sind und am Ende bleibt a_0 * (A-Lambda*I)*v übrig, also ist es ein Eigenvektor zum Eigenwert a_0.

c) funktioniert ähnlich, wenn man vorher zeigt, dass a_0=0 gelten muss. Hierzu kann man 1a) benutzen.

...zur Antwort

Du sollst für u und v einfach die angegebenen Werte einsetzen und den so entstehenden Ausdruck dann ausrechnen.

Als Beispiel für a) mit u=3 und v=2:

2u-3v-5v-7u = 2*3 - 3*2 -5*2- 7*3 = -5*2 - 7*3 = -21

Es ist sinnvoll, die Terme zunächst zu vereinfachen, wenn du Kommazahlen einsetzen willst. Ansonsten kann man sich da leicht vertun.

...zur Antwort