Du brauchst das "mindestens", weil die Aussage sonst falsch ist. Wenn es nicht mindestens ein Vektor ist, so muss es keiner sein.

Im Fall "keiner" nimmt man das Beispiel der Vektoren (1,2,3) und (2,4,6). Der zweite Vektor ist lin. abhängig vom ersten und zeitgleich eine Linearkombination davon.

Es können auch mehrere sein, wie das Beispiel (1,2,3), (2,4,6), (3,6,9) zeigt. Deshalb stimmt "mindestens" und man kann es nicht weglassen oder durch "keiner" oder "genau einer" ersetzen.

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Es wurden erstmal rechts alle Zahlen weggeteilt. Die sehen zwar vielleicht kompliziert aus, aber das hindert einen ja nicht dran, sie wie gewohnt wegzuteilen.

Links steht dann



Kommt gerundet 1.0198 raus. Dann minus 1, geteilt durch 0.06, mal 360, fertig.

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Ich kürze einfach mal alles auf der rechten Seite, was nicht irgendwie was mit dem Faktor 1+i*(t_2/360) zu tun hat, mit a, b und c ab, um nicht so viel tippen zu müssen.

_____ Den Buchstabenkram teilt man weg (hierzu darf keiner der Faktoren 0 sein. Keine Ahnung, ob das vorausgesetzt werden kann, die Sparbuchformel sagt mir nichts, aber ich denke mal, dass hier nichts 0 sein wird.)



_____

Dann minus 1, dann durch i teilen:



_____

Mal 360:



_____

Fertig. Nicht schön, stimmt aber. Jetzt wieder a, b und c einsetzen:



_____

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Eine nützliche Tatsache bzgl. Abbildungsmatrizen einer linearen Abbildung ist, dass ihre Spalten als Spaltenvektoren aufgefasst das Bild der linearen Abbildung aufspannen.

Soll für die Aufgabe heißen: Wenn s_1, ... s_4 die Spalten von A sind, dann ist (s_1, ... , s_4) ein Erzeugendensystem von Bild(f). Dieses Erzeugendensystem ist genau dann eine Basis, wenn seine Vektoren linear unabhängig sind. Wenn sie linear abhängig sind, kann man das Erzeugendensystem nach dem Basisauswahlsatz zu einer Basis von Bild(f) "abspecken".

Die lineare Unabhängigkeit kannst du schnell prüfen, indem du die Abbildungsmatrix transponierst, auf Zeilenstufenform (per Gauß) bringst und dann wieder transponierst. Du kannst dir aber auch das doppelte Transponieren sparen und direkt die Matrix mit Spaltenoperationen auf Spaltenstufenform bringen.

Die Nicht-Null-Spalten sind dann eine Basis des Bildes von f. Das geht, weil das Bild von f gleich dem Spaltenraum von A ist, und dieser bleibt unter Spaltenumformungen unverändert.

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Man kann bspw. Quaternionen und Oktaven etwas schludrig (denn dies sind keine Körper, sondern Divisionsalgebren) als Erweiterungen von ℂ sehen. ℂ, ℝ und die Quaternionen bzw. Oktaven sind die einzigen normierten Divisionsalgebren über ℝ (zu den genannten Konstrukten isomorphe Konstrukte mal ausgenommen).

Eine wirkliche (endlich dimensionale!) Erweiterung von ℂ gibt es aber (meines Wissens nach!) nicht. Im Allgemeinen ist eine endliche dimensionale Körpererweiterung (ℂ ist bspw. eine zweidimensionale Erweiterung von ℝ) algebraisch. Im Fall einer potenziellen Erweiterung von ℂ würde das aber bedeuten, dass jedes Element dieser Körpererweiterung eine Nullstelle eines Polynom in ℂ wäre. Da ℂ aber bereits algebraisch abgeschlossen ist, ist jedes Element in ℂ Nullstelle eines ℂ-Polynoms. Also kann man ℂ nicht endlich erweitern.

Auf einer gegebenen Riemannschen Fläche M ist aber die Menge aller meromorphen Abbildungen (nennen wir sie mal ℂ(M)) ein Körper. Identifiziert man jedes Element in ℂ mit der entsprechenden konstanten Abbildung auf ℂ(M), so ist ℂ(M) eine transzendente Körpererweiterung von ℂ. Siehe auch https://en.wikipedia.org/wiki/Field_extension#Examples (unten bei den Beispielen).

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Eine Anordnung der Elemente ist in ℂ nicht möglich, wie @Halbrecht zeigte. ℂ hat dafür aber andere interessante Eigenschaften

Eine Eigenschaft von dem Körper der komplexen Zahlen ist, dass er (im Gegensatz um Körper der reellen Zahlen) ein algebraisch abgeschlossener Körper ist. Soll heißen: Jedes (nicht konstante) Polynom hat eine Nullstelle, die in diesem Körper liegt. Im Fall von ℂ hat ein n-gradiges Polynom genau n Nullstellen.

Zudem ist ℂ ein sogenannter Oberkörper von ℝ, d.h. ℝ ist mit den Verknüpfungen aus ℂ wieder ein Körper. Man nennt das Paar (ℂ,ℝ) dann eine Körpererweiterung.

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Du kannst die Nullstellen von f(x)=x²+3x-18 ausrechnen. Wenn a und b diese Nullstellen sind, dann kannst du f(x) als f(x)=(x-a)(x-b) schreiben. Hier wäre dann a=3 und b=-6. Quadratische Polynome kann man im Allgemeinen nämlich als f(x)=t*(x-a)(x-b) faktorisieren (wenn sie denn mindestens eine Nullstelle haben! f(x)=x²+1 lässt sich z.B. nicht so faktorisieren, zumindest nicht reell.), wobei t der Vorfaktor von x² und a und b die Nullstellen von f sind.

_____

Alternativ:

Du kannst auch direkt ohne Nullstellenberechnung f(x)=(x-a)(x-b) ansetzen.

Da du zudem weißt, dass f(x)=x²+3x-18 gelten soll, ergibt sich

(x-a)(x-b)=x²+3x-18.

___

Ausmultiplizieren liefert

x²-(a+b)x+ab=x²+3x-18

___

Der direkte Vergleich der Koeffizienten (=Zahlen vor den Potenzen von x) liefert das Gleichungssystem

I. -(a+b)=3

II. ab=-18

___

Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems sind genau die Zahlen, die du suchst. Dieses Vorgehen ist auch als "Satz von Vieta" bekannt.

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Ich kürze die Matrix M_B mal mit M ab.

Wie du schon richtig erkannt hast: Der Eigenraum zum Eigenwert 0 ist gerade der Kern der Matrix M. Es ist unschwer zu erkennen,dass rang(M)=3 gilt (multipliziere z.B. die dritte Zeile mit -p und addiere sie zur ersten, dann hast du 2 Nullzeilen).

Der Dimensionssatz sagt dir nun, dass Dim(IR^5)=Rang(M)+Dim(Kern(M)), bzw. 5=3+Dim(Kern(M)). Damit ist Dim(Kern(M))=Dim(Eig(M,0)=2.

Damit hat die JNF zwei Jordankästchen zum Eigenwert 0 (und damit auch nur 2 Blöcke insgesamt, da 0 der einzige Eigenwert ist).

Es gibt nun (bis auf die Reihenfolge der Kästchen) folgende Möglichkeiten:

Ein 1x1-Kästchen und ein 4x4-Kästchen

Ein 2x2-Kästchen und ein 3x3-Kästchen

Was davon jetzt der Fall ist, darüber geben dir die höheren "Kerndimensionen" Auskunft. Dazu aber später mehr.

Zuerst ist der Kern von M zu bestimmen. Das sind gerade die Vektoren x, für die M*x=0 gilt.

Als Menge (ich schreibe die Vektoren hier transponiert, weil der TeX-Editor keine Zeilenvektoren zulässt)



Die dritte Zeile liefert direkt a=0. Damit ist auch d=0 (fünfte Zeile). Zudem erhält man c=-b. Man schreibt um:

wobei < > den Spann der Vektoren bezeichnet.

Soviel zum Eigenraum. Berechne auf die selbe Weise mal Ker(M²) und melde dich zurück. Dir sollte auffallen, dass sein Spann sehr ähnlich zum Spann von Ker(M) aussieht.

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Ich lege meine Hand jetzt nicht für die Richtigkeit in's Feuer, hier aber meine Gedanken:

_____

Ist x aus Z² oder aus Z² mod 5? Wenn letzteres, dann sind ja nur die Vektoren in W, deren Komponenten sich nur im Vorzeichen unterscheiden (denn a³+b³=0 <=> a=-b, in Z zumindest. Deshalb die Rückfrage oben.)

W lässt sich dann schreiben als

 _____

Dann ist



______

Nun ist zu prüfen, ob gilt:



und



_____

Wenn du das jetzt einfach händisch ausmultiplizierst, siehst du ja, ob das stimmt oder nicht.

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Die rechte Seite hat mit der linken m.E.n. nichts zu tun. Die beiden Matrizen heißen zwar A, sind aber offenbar unterschiedlich.

Links handelt es sich um die Bestimmung eines Eigenvektors der Matrix A zum Eigenwert 1 (also eines Vektors, der ein homogenes Gleichungssystem löst), rechts möchte man den Lösungsvektor eines inhomogenen Gleichungssystem ermitteln.

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Weg ohne das Kreuzprodukt:

Sei v=(x|y|z) ein Vektor der Menge O:={ v | v*a=0 und v*b=0) der orthogonalen Vektoren zu a und b.

Dann muss gelten:

x+4z=0 und 4x-y+2z=0

Die erste Gleichung umgestellt (x=-4z) und in die zweite eingesetzt liefert y=-14z.

v hat also die Gestalt (-4z|-14z|z). Die Komponenten hängen nur von z ab. Alle Vielfachen des Vektors (-4|-14|1) (man kann auch (4|14|-1) nehmen) sind also orthogonal zu a und b.

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Ich bin davon ausgegangen, dass die Vektoren a = AB, b = BC und c = CA alle zusammen addiert 0 ergeben müssen.

Richtig. Dann sind sie linear abhängig.

Aber um späteren Fehlern eventuell entgegenzuwirken: Wenn da nicht 0 rausgekommen wäre, könnten sie trotzdem linear abhängig voneinander sein. Wenn irgendeine Linearkombination 0 ergibt, sind sie linear abhängig. Es würde nicht reichen, nur die Trivialkombination zu betrachten.

Betrachte bspw. die Ortsvektoren x=(1,1,1), y=(2,2,2), z=(3,3,3) (als Spaltenvektoren). Dann ist x+y+z=(6,6,6), aber die Vektoren sind trotzdem offenbar linear abhängig, denn x+y-z=0.

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Zurück zur Aufgabe:

a=(2|6|6), b=(-5|-15|-15), c=(-3|-9|-9).

Wenn du jetzt versuchst, c aus a und b zu kombinieren, indem du ein LGS löst, wirst du feststellen, dass es sogar unendlich viele Möglichkeiten gibt, c als c=a*r+b*s zu schreiben, bspw. c=6r+3s oder c=12r+6s. Allgemein: c=a*(5n+1)+b*(2n+1), wobei n eine ganze Zahl ist.

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Das ist die Definition des Betrages.

|x|=x, wenn x>=0

|x|=-x, wenn x<0.

Analog ist dazu

|ln(x)|=ln(x), wenn ln(x)>=0

|ln(x)|=-ln(x), wenn ln(x)<0.

Nun besagt die Anmerkung über dem einen Gleichheitszeichen, dass ln(x)<0 für 0<x<1 gilt. Durch das Minuszeichen wird der ln für Werte zwischen 0 und 1 an der x-Achse gespiegelt, sodass er dort positiv ist.

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Der Satz des Pythagoras liefert im rechtwinkligen Dreieck ja die Beziehung a²+b²=c². Mit a=b hat man a²+a²=c² und damit kann man direkt c errechnen.

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f(0) gibt dir den Funktionswert an der Stelle x=0 an. Anschaulich ist das der Wert, bei dem der Graph der Funktion f die y-Achse schneidet.

f(x)=0 ist eine Gleichung, deren Lösung(en) dir die Schnittstelle(n) des Graphen von f mit der x-Achse liefert/liefern.

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Als Beispiel sei f(x)=(x+1)² gegeben. Hier ist f(0)=1²=1. Der Graph von f schneidet die y-Achse also in P(0|1).

Die Gleichung f(x)=0 ist gleichwertig zu (x+1)²=0. x=-1 ist die einzige Lösung dieser Gleichung, also schneidet der Graph von f die x-Achse bei Q(1|0).

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Stichwort quadratische Ergänzung. Klingelt's da?

Wenn ich zu p²-p noch (1/2)² addiere, habe ich p²-p+1/4 und das ist gleich dem Ausdruck (p-1/2)². Man hat also

(p-1/2)²=(1/2)²-1/18. Links kann man wegen dem Quadrat die Wurzel leicht ziehen und dann nach p umstellen.

Und: Du hast falsch abgeschrieben. Rechts unter der Wurzel gehört nicht 1/2 hin, das steht außerhalb der Wurzel.

Man könnte das auch einfach mit der P/Q-Formel lösen - die macht nämlich genau das selbe wie die quadratische Ergänzung und ist nicht ganz so 'verwirrend'.

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Betrachte die Abbildung *: ℤxℤ --> ℤ mit a*b:=a-b unter der Subtraktion aus ℤ.

Dann ist (ℤ,*) ein Gruppoid. Wäre (ℤ,*) eine Halbgruppe, so würde für drei Elemente a,b,c aus ℤ die Gleichheit a*(b*c)=(a*b)*c gelten. Mit (ℤ,*) haben wir aber a*(b*c)=a-(b-c)≠(a-b)-c=(a*b)-c, also ist (ℤ,*) nur ein Gruppoid.

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Die ausgeklammerten Ausdrücke sind alle korrekt.

1)-4) sind nur nicht "vollständig" ausgeklammert. Aus 1) und 2) kann man noch 3 ausklammern, aus 3)-4) 2.

Ich würde letzten Endes 5) weiterverwenden, weil es "vollständig" ausgeklammert ist und der Faktor vor der Klammer kein negatives Vorzeichen besitzt.

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