Was passiert mit "x" bei Substitution?
Hallo, ich habe eine Frage zur Substitution bzw. zur Aufstellung von biquadratischen Gleichungen.
Gegeben ist die Funktion f(x)= 1/3x^4 + 2/3x^3 - 4x^2 -8/3x + 32/3
umgeschrieben wäre diese demnach: f(x)=1/3z^2... und jetzt komm ich nicht weiter. Wie schreibe ich denn ungerade Exponenten wie x^3 oder x^1 um? Ist das dann z^1(1/2)??
In jedem Tutorial werden immer nur ^2 und ^4 benutzt.
Danke für die Antworten :)
3 Antworten
Substitution kann man hier auch anwenden. Es ist nur keine Substitution die gerade trivial ist. Hier funktioniert die Substitution aus der Schule (x² = u) nicht zum lösen. Stattdessen kannst du die wunderbare Substitution nutzen (siehe Wikipedia zur Formel von Cardano):
Der Grund warum dir deine Substitution hier nichts bringt ist, dass sie für biquadratische Gleichungen (nur mit hoch 4, hoch 2 und hoch 0) gedacht ist aber das eine allgemeine quartische Gleichung ist.
Dennoch kannst du sie anwenden, es bringt dir aber einfach nichts:
Code:
\begin{align*}
f\left( x \right) &= \frac{1}{3} \cdot x^{4} + \frac{2}{3} \cdot x^{3} - 4 \cdot x^{2} - \frac{8}{3} \cdot x + \frac{32}{3}\\
f\left( x \right) &= \frac{1}{3} \cdot x^{2 \cdot 2} + \frac{2}{3} \cdot x^{1,5 \cdot 2} - 4 \cdot x^{2} - \frac{8}{3} \cdot x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \frac{32}{3}\\
f\left( x \right) &= \frac{1}{3} \cdot \left( x^{2} \right)^{2} + \frac{2}{3} \cdot \left( x^{2} \right)^{1,5} - 4 \cdot x^{2} - \frac{8}{3} \cdot \left( x^{2} \right)^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{3}\\
f\left( x \right) &= \frac{1}{3} \cdot \left( u \right)^{2} + \frac{2}{3} \cdot \left( u \right)^{1,5} - 4 \cdot u - \frac{8}{3} \cdot \left( u \right)^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{3}\\
f\left( x \right) &= \frac{1}{3} \cdot u^{2} + \frac{2}{3} \cdot u^{1,5} - 4 \cdot u - \frac{8}{3} \cdot u^{0,5} + \frac{32}{3}\\
\end{align*}
In jedem Tutorial werden immer nur ^2 und ^4 benutzt.
Weil eine biquadratische Gleichung ein Spezialfall der Nullstellensuche einer biquadratischen Funktion
ist. Mit anderen Worten: Die Substititutionsmethode funktioniert nicht für allgemeine ganzrationale Funktionen 4. Grades.
Substitution kann man hier auch anwenden. Es ist nur keine Substitution die gerade trivial ist. Hier funktioniert die Substitution aus der Schule (x² = u) nicht zum lösen. Stattdessen kannst Du beide Seiten mit 3 Multiplizieren und dann die Substitution x^4+Ax³+Bx²+Cx+D=(x^2+1/2Ax+u)²-(vx-w)². Das ist die "kubische Resolventengleichung" mit der man den Grad einer quartischen Gleichung unter Drücken kann.
In jedem Tutorial werden immer nur ^2 und ^4benutzt.
Das liegt eben daran, dass die Substitution nur funktioniert, wenn alle Exponenten gerade sind. Bei deiner Funktion bleibt dir eigentlich nur übrig, eine Nullstelle zu raten und dann eine Polynomdivision durchzuführen, um an die restlichen Nullstellen zu kommen. (Oder du probierst einfach alle Teiler von 32 durch [wieso, siehe Satz über rationale Nullstellen] und findest dann heraus, dass deine Funktion praktischerweise drei ganzzahlige Nullstellen hat)
Ach na dann hab ich mich wohl vertan. Dachte, Substitution kann man hier anwenden. :') Danke für den Hinweis!