Wie ermittle ich die Gleichung der quadratischen Funktion in der allgemeinen Form aus?
Ich schreibe morgen eine Matheschulaufgabe und weder im Buch noch im Internet steht wie ich das ausrechne. Wenn ich 2 Punkte habe bzw den Scheitelpunkt und einen Punkt ist es recht simpel, aber wenn a,b oder c und der Scheitelpunkt gegeben sind dann blick ich nichtmehr durch. Ein Beispiel wäre: S(-0,5|-17) und c=-16. Und ist das anders wenn a oder c gegeben ist?
In dem Fall wäre es die d, e und f die ich nicht verstehe.
Ich verstehe die Frage nicht ganz. Was ist denn c? C ist so wie es jetzt da steht ja kein Punkt.
Ich hab nochmal ein Bild angehängt.
3 Antworten
Hallo.
Eine quadratische Gleichung hat die Form
Beim Scheitelpunkt kommt hinzu, dass er das lokale Extremum darstellt. Höher/Tiefer geht es nicht. Die erste Ableitung ist an dem Punkt also gleich null. Die Form der ersten Ableitung sieht so aus:
Wenn du also den Scheitelpunkt und c gegeben hast, könntest du es so auflösen:
Also für c = -16 einsetzen, für f(x) den y Wert und das x mit -0,5 ersetzen.
Danach die x-Koordinate des Scheitelpunkts in die erste Ableitung einsetzen und als Nullstelle deklarieren.
Alternativ gehst du den Weg über die Scheitelpunktform, der ist aber vermutlich nicht ganz so einfach.
Die beiden bisherigen Antworten verwenden Ableitungen. Wenn ihr das noch nicht hattet, geht es auch ohne.
Die Scheitelpunktform lautet ja f(x) = a(x-d)²+e, wobei d und e hier die x- bzw. y-Koordinate des Scheitelpunktes sind.
Hier gilt also f(x) = a * (x+0,5)²-17.
Um die Werte für die allgemeine Form zu bekommen, macht es Sinn, f(x) erst einmal in diese Form zu überführen. Hier muss man a jetzt erstmal als Konstante "mitschleppen" und schauen, was sich machen lässt. Zuerst wende ich die erste binomische Formel an:
f(x) = a * (x² + 2 * x * 0,5 + 0,5²) - 17
Nun zusammenfassen:
f(x) = a * (x² + x + 0,25) - 17
Nun löse ich die Klammer auf, indem ich den Term gemäß dem Distributivgesetz ausmultipliziere:
f(x) = a*x² + a*x + a*0,25 - 17
Sooo, das sieht doch schon mal ein bisschen nach der allgemeinen Form aus; da fehlen jetzt nur b und c drin...
Aber die Struktur stimmt doch schonmal: Man hat a*x², irgendwas mit x und einen Rest ohne x.
In der allgemeinen Form ist die Zahl vor dem x ja b; da hier vor dem x aber nun a steht, muss a=b gelten. Soll heißen: Wenn wir irgendwie a (oder b) herausfinden können, haben wir auch automatischen den anderen Wert.
Das Zeug ohne x ist hier interessant: Das wäre hier ja a*0,25 - 17. Das ist nun unser c aus der allgemeinen Form; praktischerweise ist aber c=-16 vorgegeben! Wir können also a*0,25 - 17 = -16 aufstellen und nach a lösen.
a * 0,25 - 17 = -16 | + 17
a * 0,25 = 1 | :0,25
a = 4
Und damit haben wir dann die allgemeine Form, denn nun kennen wir auch b: Aus a=b und a=4 folgt natürlich b=4 und insgesamt ergibt sich
f(x)=4x²+4x-16
Zu diesem Verfahren findest du online unter dem Stichwort "Koeffizientenvergleich" mit Sicherheit noch weitere Seiten, die dir beim Verständnis helfen können.
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Wenn a vorgegeben ist, ist die ganze Sache viel leichter. Dann musst du ja nur die Scheitelpunktform ausmultiplizieren (siehe oben) und hast direkt die allgemeine Form.
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Wenn b vorgegeben ist, ist es ähnlich zu dem Vorgehen für c. Dann setzt du eben die Werte vor dem x mit dem vorgegebenen Wert gleich und nicht die Werte ohne x. Dadurch bekommst du dann a raus und kannst c berechnen.
S(−½|−17) und c=−16
Ich vermute, das heißt, Du sollst die Parabel ax²+bx+c finden, die am Punkt S(−½|−17) ein Extrem hat und außerdem c=−16.
Wenn so:
f(x)=ax²+bx+c
f’(x)=2ax+b
und wir wissen, daß f(−½)=−17 und f’(−½)=0, das ergibt
¼a−½b−16 = −17
−a+b = 0
Da b=a kann man das in die erste Gleichung einsetzen und erhält schmerzlos
¼a−½a−16 = −¼a−16 = −17 ⟹ a=4 und b=4
