Gemeinsamen Punkt von Tangente und Gleichung berechnen?
Hallo, ich habe leider bei der 2) der folgenden Aufgabe ein paar Probleme...
1) habe ich lösen können. Ich habe die gegebene Gleichung raus, und hatte dazu auch als Nullstellen die -5 und die 5 ausrechnen können. Bei der 2) steht in den Lösungen das Punkt R bei (-5/-49) liegt. Aber wie kommt darauf, das Punkt R auf -5 liegt? Welche Möglichkeiten hat man, um darauf zu kommen? Hat das was damit zutun, das es eine der Nullstellen ist?
Wäre sehr dankbar wenn jemand helfen könnte.
MfG
2 Antworten
Da R ein Schnittpunkt zwischen Tangente und Graph ist, setzen wir beide gleich:
27/125 x^3 - 27/25 x^2 + 5 = 27/5 x - 22
27/125 x^3 - 27/25 x^2 - 27/5 x + 27 = 0
mal 125, um die Brüche wegzukriegen:
27x^3 - 135 x^2 - 675 x + 3375 = 0
Nun wissen wir, dass eine Lösung der Gleichung der Tangentenpunkt sein muss. Daraus folgt:
(x - 5) = 0
Mit einer Polynomdivision reduzieren wir das Polynom auf ein quadratisches:
Nun lösen wir:
27x^2 - 675 = 0
27 x^2 = 675
x^2 = 25
x1,2 = ± 5
+5 ist erneut eine Lösung. Das ist auch ok, da das ein Berührpunkt ist, führt er zu einer doppelten Nullstelle.
Die zweite Nullstelle(Schnittpunkt liegt bei x = -5
Den y-Wert von R kriegen wir durch Einsetzen in die Geradengleichung raus:
y = 27/5 * -5 - 22 = -27 - 22 = -49
Zur Kontrolle könnte man es auch noch in die Funktionsgleichung einsetzen.
Lösung: R(-5/-49)
Kann man diese Aufgabe auch ohne Polynomdivision ausrechnen, meine Tochter meint diese hätten sie noch nicht gehabt. Was wäre denn ein alternativer Weg, z.B. mittels P/Q Formel.
Problem dabei ist dann, dass man entweder ein x ausklammern muss und noch eine Zahl am Ende über bleibt. Ich suche da gerade nach einer Antwort, ist aber bei mir einfach Jahre her.
Und wie kommst du hierauf:
Nun wissen wir, dass eine Lösung der Gleichung der Tangentenpunkt sein muss. Daraus folgt:
(x - 5) = 0