Die Zahl e hat sich in der Tat zunächst gut versteckt, weshalb sie im Gegensatz zu pi, der Fibonacci-Folge oder dem goldenen Schnitt beispielsweise relativ spät erst entdeckt wurde.
Wachstums- oder Zerfallsprozesse bspw. kann ich doch auch mit einer anderen Basis schreiben.
Prinzipiell ja, aber diese Basen haben nicht die Eigenschaft, wie die Basis e und daher in der mathematischen Weiterverrabeitung Schwierigkeiten, die es mit der Basis e nicht gibt.
Das liegt an folgendem:
Nehmen wir an, wir legen 1 Euro am 1. Januar zu einem Zinssatz von 100 % an. Wenn ich die Zinsen am 31. Dezember ausbezahlt bekomme, habe ich 2 Euro, mein Vermögen hat sich also verdoppelt.
Nehmen wir nun an, wir erhalten halbjährlich Zinsen ausgezahlt, erhalte ich am 1. Juli 0,5 Euro ausgezahlt und habe 1,5 Euro. Wenn dann im zweiten Halbjahr wieder 50 % Zinsen anfallen, erhalte ich 0,75 Euro Zinsen und habe damit 2,25 Euro am Jahresende. Nun fragte sich Bernoulli, ob man den Endbetrag beliebig erhöhen kann, wenn man die Auszahlungsperiode immer kleiner macht oder ob es einen Grenzwert gibt, wenn man die Auszahlungsperiode gegen 0 streben lässt. Und hier springen wir nun von der Bank in die Natur. Dort erfolgt das Wachstum nie sprunghaft, sondern kontinuierlich, die "Zinsen" werden also immer sofort ausbezahlt.
Nun rate mal, welchen Grenzwert Bernoulli bei kontinuierlichem Wachstum im obigen Fall rausgekriegt hat: 2.7182818284590452, also e
Die Wachstumsfunktion zur Basis e lautet dann:
mit Po als Anfangsbestand und λ als Wachstumsfaktor.
Mit λ lassen sich nun Sachen ganz einfach anstellen, die mit jeder anderen Basis kompliziert wären.
Der Kehrwert von λ ist die Zeitkonstante τ (klein-tau). Sie gibt an, wann sich die Population um den Faktor e vergrößert hat...undf dazu braucht man keinen Taschenrechner wie zu jeder anderen Basis.
Die Halbwertszeit bei einem Zerfall T1,2 kann man berechnen mit:
auch das lässt sich ganz einfach mit Papier und Bleistift ausrechnen, denn den ln(2) muss man nur einmal bestimmen und kann ihn dann immer wieder verwenden. ln(2) = 0.693
Bei jeder anderen Basis bräuchte man einen Taschenrechner zum Ausrechnen.
Das sol erstmal reichen, um darzustellen, wie sich e in natürlichen Wachstumsprozessen versteckt.
Nachdem Nun die Zahle e gefunden war, entdeckte man, dass sie auch innerhalb der Mathematik eine erstaunliche Sonderrolle spielt.
Ich möchte das nur anhand einiger Beispiele andeuten:
Mithilfe von e lässt sich ein erstaunlicher Zusammenhang mit pi und der imaginären Zahl i herstellen: (i = √-1):
Diese sogenannte Eulersche Idendität gilt als eine der elegantesten Formeln der Mathematik.
In der Natur gibt s viele Zufallsverteilungen, die der Gaußschen Glockenkurve gehorchen. Dazu zählt z.B. die Größenverteilung der Bevölkerung. Auch hier soielt die Zahl e eine entscheidende Rolle. Wenn man die Gaußsche Glockenkurve aufintegriert, um die Gesamtmenge zu ermitteln bzw. die Fläche unterhalb der Glockenkurve, erhält man das Integral:
Wobei sich wieder ein Zusammenhang von e und pi ergibt.
