Hier handelt es sich offensichtlich um eine Parabel, deren allgemeiner Ansatz lautet:
f(x) = ax^2 + bx + c

Wir haben 3 Parameter a, b und c, die wir lösen müssen und um 3 Unbekannte zu lösen brauchen wir 3 Informationen. Die haben wir auch:
1) f(0) = 1

2) bei x = 2 hat die Parabel die eingezeichnete Tangente mit der Steigung m = 1/2:
f'(2) = 0,5

3) Der Scheitelpunkt einer Parabel liegt immer genau zwischen den beiden Nullstellen. Das wäre hier bei x = 1,75:
f'(1,75) = 0

Da sich zwei Informationen auf die Steigung beziehen, müssen wir ableiten:
f'(x) = 2ax + b

Da setzen wir Info 3) ein:
f'(1,75) = 2*1,75*a + b = 0
3,5a * b = 0 (Gl. 1)

Info 2) eingesetzt:
f'(2) = 2*2*a + b = 0,5
4a + b = 0,5 (Gl. 2)

Nun rechnen wir Gl.1 - Gl.2:
-0,5a = -0,5

a = 1

in Gl. 1 eingesetzt:
3.5 + b = 0
b = - 3,5

Damit lautet die Funktion:
f(x) = x^2 - 3,5x + c

Da setzen wir Info 1) ein:
f(0) = 2*0^2 - 3,5*0 + c = 1
c = 1

Also lautet das Ergebnis:
f(x) = x^2 - 3,5x + 1

Zur Probe gebe ich die Funktion in einen Funktionsplotter ein:

..und siehe da, das haut hin.

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Zuerst stelen wir die Formewl auf, die den Zusammenhang zwischen v und s ergibt:

Wir haben zwei Grundformeln:
s = a/2 * t^2
v = a * t

s wollen wir als Funktionswert wissen
a ist bekannt = 7 m/s^2
v ist die Variable
t stört gewaltig, also müssen wir das loswerden

v = a * t
t = v/a

in s = a/2 * t^2 eingesetzt :
s = a/2 * (v/a)^2 = v^2 / 2a

Damit lautet unsere Formel:
s = v^2 / 14
mit v in m/s und s in m

Wenn wir v in km/h angeben wollen lautet die Formel:
aus v(km/h) = 3,6 * v(m/s)
v(m/s) = v(m/s)/3,6
und damit
s = (v /3,6)^2 / 14 = 0,0055 * v^2

Damit können wir eine Wertetabelle erstellen:

Diese Werte können in ein Koorodinatensystem übertragen werden, wobei die x-Achse mit "Anfangsgeschwindigkeit in km/h) und die y-Achse mit "Bremsweg in m" beschriftet werden kann. Die Kurve sieht dann so aus:

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Wie komme ich nun von dem Ansatz auf die Nullstelle des Zähler.

Verstehe nicht ganz den Hintergrund dieser Frage. Kann jetzt nur rumvermuten.

Eine besonders gefährliche Stellle bei gebrochen rationalen Funktionen liegt immer dann vor, wenn das ganze zu einem Ausdruck 0/0 führt, denn das kann alles sein. Was es ist, kann man nur durch eine Grenzwertbetrachtung rauskriegen. Am gefährlichsten wird es, wenn 0/0 zu einer Definitionslücke führt.

Um zu überprüfen, ob und wann der Zähler zu 0 wird setzen wir die Stelle der Asymptote mit x = -t/3 in den Zähler ein:

30(-t/3)^2 + 10t(-t/3) + 3t = 30t^2/9 - 10t/3 - 3t = 30t^2/9 - 30t/9 - 3t = -3t = 0
-3t = 0
t = 0
Bei t = 0 liegt also die gefährliche Stelle. Nun gucken wir die Ursprungsfunktion nochmal für t = 0 an:
(30x^2 + 10x * 0 + 3*0) / 15(3x + 0) = 30x^2 / 45 x = 2/3x

....und wir sehen, für t = 0 erhalten wir eine Gerade mit der Gleichung:
y = 2/3 x
Eine Gerade hat aber nie eine senkrechte Asmyptote, also gibt es für t = 0 eine Definitionslücke.

Worüber ich mich jetzt wundere, dass diese Geradengleichung für t = 0 auch schon die Gleichung für die schräge Asmyptote ist. Zufall oder Lösungsweg?

So ermittle ich nämlich die schräge Asymptote:

Polynomdivision:

(30x^2 + 10tx + 3t) / (45x + 15t) = 2/3 x - 7t/(45x + 15t)
30x^2 + 10tx + 10t
-------------------------------
Rest:...................-7t

Der Rest -7t/(45x + 15t) geht für x → ∞ gegen 0

Damit lautet die Asymptotengleichung:

y = 2/3x

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Du musst einfach für x Werte einsetzen, z.B. von -5 bis + 5, halt in dem Bereich, den du zeichnen möchtest.

das sähe dann bei a) so aus:

Da können wir aber sofort sehen, dass die x-Werte ungünstig gewählt sind, weil die y-Werte ab -2 abwärts und ab 4 aufwärts viel zu groß werden.

Dann kann man die x-Werte auch anders und günstiger wählen, z.B. so:

Wenn du diese Werte ins Koordinatensystem übeträgst und verbindest, kommt das raus:

beib) könnte eine brauchbare Wertetabelle so aussehen:

was dann zu diesem Graphen führt:

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Ja sogar extrem, weil die Lichtbrechung unterschiedlich ist.

Du kannst die Übergänge von neuem und altem Klarlack allerdings mit sogenanntem Beispritzlack wesentlich fließender machen, sodass sie nicht so stark auffallen.

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Nein

Die Vorstellung, Zeit würde nicht real existieren, sei ein menschliches Artefakt und damit eine Illusion, beruht auf der Vorstellung der klassischen deterministischen und reduktionistischen Physik (Newton, Einstein, Hawking). Dieser Zeitbegriff ist allerdings längst überholt.

Die Gesetze der klassischen Physik, wie z.B. der 1. HS (Energieerhaltungssatz) sind zeitsymmetrisch (Vergangenheit und Zukunft sind gleichwertig, die Gleichungen funktionieren vorwärts und rückwärts). Damit können aber nur Zustandsänderungen, aber keine dynamischen Prozesse mathematisch erfasst werden.

In der klassischen Dynamik stellt Zeit die vierte Dimension dar, sie ist ein geometrischer Parameter. Dieses ist die externe Zeit t, die man mit der Uhr misst. Aus verschiedenen Gründen ist diese Zeit aber nicht geeignet, instabile Systeme fernab des thermodynamischen Gleichgewichtes zu beschreiben, dazu später mehr. Das einzige Beispiel innerhalb der klassischen Dynamik, bei der Zeit überhaupt eine Rolle spielt, ist die Beschleunigung. Und die ist, wie wir schon festgestellt haben, zeitsymetrisch, was bei einer geometrischen Betrachtung der Zeit nicht verwunderlich ist. Bei statischen Vorgängen, wie Bewegung eines Punktes im Raum oder Wellenausbreitung in der Quantenphysik wird ebenfalls die externe Zeit t benutzt.

Dass Zeit keine Illusion sei, dass das Universum weder deterministisch noch reduktionistisch sei, sondern dass Irreversibilitäten und Instabilitäten das Universum bestimmen, zeigte Ilya Prigogine in seiner Theorie Dissipativer Strukturen, für die er 1977 den Nobelpreis erhielt. In dieser Theorie zeigt er, dass der Zeitpfeil real existiert und Zeit daher keine Illusion sei und daher auch niemals rückwärts laufen könne.

Nun weist Prigogine drauf hin, dass schon Aristoteles durch Naturbeobachtung erkannte, dass Zeit zwei unterschiedliche Qualitäten haben kann. Er unterschied zwischen der Zeit als "Bewegung" (kinesis) und der Zeit als "Entstehung und Verfall" (metabole). Die erste Zeit ist die Zeit der klassischen Dynamik, die zweite ist die Zeit der Thermodynamik. Um genau diese zweite thermodynamische Zeit geht es in der Theorie dissipativer Strukturen.

Die thermodynamische Zeit ist eng an Irrevesibilität und Instabilität gebunden. Prigogine nennt sie auch die innere Zeit. In stabilen reversiblen Systemen gibt es sie nicht. In Systemen nahe des thermodynamischen Gleichgewichtes wird die innere bzw. thermodynamische Zeit zur kosmologischen Zeit der deterministischen Physik. 

In seiner Theorie dissipativer Strukturen weist Prigogine tatsächlich sowohl theoretisch als auch gestützt durch Experimente nach, dass Irreversibilität schon auf Quantenebene intrinsisch auftritt (intrinsisch: real im System vorhanden, also keine Gedankenkonstruktion ist). Da die innere Zeit direkt von der Irreversibilität abhängt, ist auch die innere Zeit intrinsisch, was er ebenfalls theoretisch und experimentell belegt. Er schreibt in "Die Gesetze des Chaos":
"Der "Urknall" zeigt uns, dass es einen bestimmten Moment gibt, in dem die Materie, wie wir sie kennen, aus dem Quantenvakuum hervorgeht. Wir waren schon immer der Ansicht, dies sei das irreversible Phänomen schlechthin, und haben versucht, es als eine Irreversibilität zu analysieren. Das Universum bildet ein Ganzes, und die Existenz eines einzigen Zeitpfeils hat eine kosmologische Ursache. Dieser Zeitpfeil ist stets gegenwärtig und es besteht darüberhinaus ein enger Zusammenhang zwischen Irreversibilität und Komplexität. Je höher der Komplexitätsgrad - Chemie, Leben, Gehirn -, desto offenkundiger ist der Zeitpfeil. Das entspricht genau der konstruktiven Rolle der Zeit, die in den eingangs beschriebenen dissipativen Strukturen so offenkundig ist."

Durch die Verleugnung des Zeitpfeiles hat der Reduktionismus/Determinismus mit 3 wesentlichen Paradoxa zu tun:

1. Das Zeitparadoxon: Hatten wir schon ausführlich diskutiert und beschreibt den Widerspruch zwischen der reduktionistischen Betrachtung, bei der Vergangenheit und Zukunft gleichwertig sind und der Beobachtung der dynamischen Natur, nach der es eben nicht so ist. Diese Paradoxon löst Prigogine mit seiner Betrachtungsweise auf.

2. Das Quantenparadoxon: Auf der einen Seite beschreibt die Schrödingergleichung die Wellenfunktion innerhalb der Quantenmechanik, auf der anderen Seite bricht diese Wellenfunktion aber bei Messungen zusammen. Man spricht vom Kollaps der Wellenfunktion. Schrödingers Katze beschäftigt sich mit diesem Problem. Viele Physiker meinen, diesen Zusammenbruch der Wellenfunktion verursacht der Beobachter durch seine Messung. Über das Thema wird eigentlich seit Entstehung der Quantenphysik bis heute unter den klassischen Physikern gestritten. Da Prigogine nicht mehr reduktionistisch sondern probabilistisch (mit Wahrscheinlichkeitrechnungen) an das Problem herangeht, löst der dieses Paradoxon auf, indem bei seiner Betrachtungsweise kein Zusammenbruch einer Wellenfunktion mehr vorkommen kann.

3. Das kosmologische Paradoxon: Laut Hawking führt die reduktionistische, zeitsymmetrische Betrachtung des Kosmos zu der Vermutung, dass der Urknall einen rein geometrischen Charakter haben könnte, bei dem die Zeit eine zufällige unwesentliche Eigenschaft sei. Die kosmologische Zeit wäre daher reine Illusion.

Paradox wird es nach Prigogine deswegen, weil damit jeglicher Zusammenhang zwischen Sein und Werden verleugnet würde.

Irreversibiltät wird durch den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik beschrieben und das ist auch der einzige Satz innerhalb der klassischen Physik, der einen echten Zeitpfeil enthält, der nicht geometrisch und symmetrisch ist und daher auch nur in eine Richtung laufen kann. In der klassischen Dynamik ist der 2.HS sowieso ein Fremdkörper. Er wird von vielen Reduktionisten so interpretiert, dass Irreversibilität, also die Abweichung von der Zeitsymmetrie aller anderer grundlegender Naturgesetze letztlich nur Rundungsfehlern bzw. unserem Unwissen geschuldet sei. Diese Meinung vertrat in seiner Frühzeit auch Einstein, relativierte sie im Alter allerdings deutlich, indem er feststellte, dass die Aussendung eines Signals immer irreversibel sei (altes japanisches Sprichwort: "Einen abgeschossenen Pfeil und ein gesprochenes Wort holt niemand zurück").

Prigogine lehnt den 2.HS als "Maß für unser Unwissen" ab und postuliert in seiner Theorie, dass der 2.HS ein grundlegendes Naturgesetz sei.

Der 2. Hauptsatz sagt absolut, dass Entropie immer zunimmt. Sie kann zwar in Systemen fernab des thermodynamischen Gleichgewichtes lokal durch Entropieexport sinken, dafür nimmt dann aber die Entropie der Umwelt überproportional zu.

Stephen Hawking, als einer der damals letzten bedeutenden Reduktionisten, geriet Ende der 1980er bis Anfang der 1990 Jahre mit Ilya Prigogine aneinander, weil Hawking in seinen Theorien zu den Schwarzen Löchern unterstellte, am Ereignishorizont könne die Zeit kurzfristig auch rückwärts laufen. Prigogine widersprach dem und begründete mit dem 2. HS in der nichtlinearen Form, dass das nicht möglich sei, weil Zeit eben nicht nur eine Illusion sei sondern der Zeitpfeil real existiert. Nach einer längeren und intensiven Diskussion musste Hawking vor versammelter Physikergemeinde am Ende zugeben, dass er sich offensichtlich geirrt habe.

http://www.spiegel.de/spiegel/print/d-13522084.html

Danach zog er auch die meisten Aussagen und ganze Kapitel der "Kurzen Geschichte der Zeit" offiziell zurück. Dieselben Probleme gibt es mit der Hawkingstrahlung, die ebenfalls davon ausgeht, dass Zeit auch rückwärts laufen könne. Jedenfalls beschränkte sich Hawking danach auf philosophische Ergüsse, in denen er dann auch auch öfters auf die Argumentation Prigogines einging.

Mittlerweile haben sich die Erkenntnisse Prigogines, u.a. dass der Zeitpfeil physikalisch real existiert, in der modernen nichtlinearen und indeterministischen Physik durchgesetzt.

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Was Bild 2 bedeuten soll, kann ich nicht erkennen. Hier zu Bild 1:

unten steht: durchziehen

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Waren sich Untertanen bewusst zum mongolischen Reich zu gehören?

Davon kann man ausgehen. Dschingis Khan gründete die Hauptstatd Karakorum, von der aus er sein Reich effizient regierte. Er installierte eine sehr effiziente Verwaltung und ein umfangreiches Kommunikationsnetz, sodass alle Stämme in seinem Reich immer kurzfristig über Gesetze und Erlasse informiert wurde. Selber lebte er extrem bescheiden, galt gegenüber anderen aber dennoch als sehr großzügig.

Das Reich und die Verwaltung, die er aufbaute, war zu seiner Zeit das mit Abstand modernste der Welt. Er nahm dabei viele Prinzipien vorweg, die es in Europa erst später mit der Aufklärung gab. Die Karriere in verwaltung und Militär war nicht mehr von der Herkunft (Adel) bestimmt, sondern ausschließlich von der individuellen Leistung. So konnte ein intelligenter Bauern-/Nomadenjunge durchaus zum Vorgesetzten von hohen Adligen befördert werden. Dschingis erließ ein umfangreiches Gesetzeswerk, das es bei uns erst viel später als Bürgerliches- und Strafgesetzbuch gab. Konflikte mussten vor Gericht und nicht mit Gewalt gelöst werden. Vor diesem Gesetz waren alle gleich, unabhängig von ihhrer Herkunft. Zitat von Dschingis: "„Durch Klugheit und List ist jeder zu besiegen, der nur rohe Gewalt hat.“

Über allem solllte die Vernunft stehen. So ist ein Zitat überliefert: "Des Menschen Auge sieht weit, des Menschen Verstand sieht weiter."

Alle Religionen wurden toleriert. In Karakorum gab es sogar eine christliche Kirche und eine isdlamische Moschee. Religion war Privatsache. Der Staat sollte frei bleiben vom Einfluss einer Staatsreligion.

Das ganze scheint auch das gesamten Mongolenreich durchdrungen zu haben, denn Dschingis Khan rühmte sich: "In meinem Reich kann eine Jungfrau mit einem Topf Gold zu Fuß von einem Ende zum anderen gehen, ohne dass ihr etwas passiert."

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Du kannst jetzt mit dem AM (Rollerführerschein) oder dem A1 (125er Motorrad) anfangen und die Prüfung machen. Den AM kann man seit neuestem sogar schon mit 15 machen. Bis zum 16. Geburtstag gilt er aber nur in Deutschland.

Mit dem AM darfst du dann auch ein Mopedauto fahren, wenn dessen Höchstgeschwindigkeit mit 45 km/h angegeben ist.

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Das ist schon richtig. In der Periode muss nicht unbedingt pi auftauchen. So könnte z.B. eine Schwingung eine Periode von 6 s haben und wenn man die Zeit t auf der x-Achse aufträgt, ist der Nulldurchgang bei 3 und bei 6 Sekunden.

Zeichnerisch sieht die Lösung dann so aus:
f(x) ist die linke Seite der Gleichung und g(x) ist die rechte Seite der Glleichung. Wo beide Funktionen gleich sind, sich also schneiden, liegen die Lösungen für x. Das wären laut Graph offensichtlich x1 = 3,5 und x2 = 5,5.

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Also machen wir mal Aufgabe 1:

f(x) = 84*a^x
84 ist der Anfangswert. Das ist laut Tabelle offensichtlich der Wert von 1990.

a ist der Wachstumsfaktor und x sind die Anzahl an Jahren.

Für 1990 gilt: x = 0
f(0) = 84 * a ^0 = 84 * 1 = 84
Das ist jetzt keine Überraschung, denn 84 war ja der Anfangswert für 1990.

Nun wirds interessanter: für 1996 gilt:
x = 6 (Jahre), f(6) = 313

Das setzen wir ein und kriegen dann den Wachstumsfaktor zumindest für diese 6 Jahre raus:
313 = 84 * a^6
a^6 = 313/84
a = (313/84)^(1/6) = 1,245

Alsolautet die Funktion:
f(x) = 84*1,245^x

Nun überprüfen wir die Funktion für 1984:
x = -6 (1984 - 1990 = -6 Jahre)
f(-6) = 84*1,245^(-6) = 22,56
Das passt also gut ins Modell.

Nun überprüfen wir die Funktion für 2002:
x = 12 (2002 - 1990 = 12 Jahre)
f(12 = 84*1,245^12= 1165
Das passt überhaupt nicht ins Modell. Offensichtlich hat sich das Wachstum in der Realität nach 1990 verlangsamt.

Wann begann die Fläche mit 0?
f(x) = 0
84*1,245^x = 0
1,245^x = 0
Da 1,245 hoch irgendwas nie 0 ergeben kann, liegt der Beginn nach diesem Modell in der unendlichen Vergangenheit, also sagen wir mal beim Urknall.

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Da würde ich ihm das e-bike geben, ist doch kein großes Problem.

Sollte wirklich mal extremes Sauwetter sein mit Sturm und Gewitter, wo du selber auch nicht mehr fahren würdest, könnt ihr ja am Abend vorher ausmachen, dass du ihn ausnahmesweise doch mal fährst.

Was machst du mit dem e-bike eigentlich, wenn das Wetter mal nicht so schön ist? Fährst du dann nicht mehr? Das, was du dir selber zumutest, kannst du auch ihm zumuten.

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= f(2) - f(0)

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Hallo, mich würde es mal interessieren wie man ein ganz kurzes Kennzeichen für sein Auto bekommt

Das bekommt man praktisch gar nicht mehr, seit die Zulassungsbezirke die in ihrem Bereich verfügbaren Kennzeichen auf ihren HPs online stellen und man sich aus dieser Liste Kennzeichen online reservieren kann. Außerdem gibt es ínzwischen Möglichkeiten, ein einmal erworbenes Kennzeichen durch geschicktes Vorgehen sozusagen lebenslang zu behalten und von Auto zu Auto mitzunehmen.

Da dadurch inzwischen praktisch alle sehr kurzen Kennzeichen vergeben sind genauso wie Kennzeichen mit besonders originellen Buchstaben- oder Zahlenkombinationen, ist an die praktisch nur noch ranzukommen, wenn du eine Auto mit einem entsprechenden Kennzeichen kaufst und mit dem Verkäufer vereinbarst, dass du das Kennzeichen übernehmen darfst. So ist z.B, auch die Zahl 9999 oder andere Schnapszahlen praktisch nicht mehr zu bekommen.

Für Regensburg könntest du z.B. hier alle möglichen Kombinationen ausprobieren, bis du was passendes gefunden hast:

https://www.landkreis-regensburg.de/buergerservice/auto-verkehr/kfz-zulassungsstelle/?kraftfahrzeugkennzeichen-reservierung-wunschkennzeichen&orga=97224

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Karrikaturen greifen gerne Widersprüche auf und stellen diese dar.

Hier wird der Widerspruch zwischen der Natur über und unter Wasser aufgegriffen, der früher sehr häufig und heute immer noch teilweise auftritt.

Über Wasser sieht man eine schöne und gesunde Natur, die der Angler in aller Ruhe ganz entspannt genießt.

Ganz anders sieht es im Wasser aus. Links unten inm Bild sieht man, wie eine verstecktes Abwasserrrohr in den Fluss mündet und seine Brühe in den Fluss abgibt. Dass dies zu einer Vergiftung des Wassers führt, stellt der Zeichner dadurch dar, dass er das Spiegelbild des Anglers im Wasser mit einem Totenkopf (skull) statt des entspannten Gesichts darstellt.

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