Beweis für Grenzwert?
Wie beweist man diesen Grenzwert ? Aufgabe 2 ) Die Exponentialfunktion a^x wächst schneller als die Potenzfunktion aber wie beweist man das ?
2 Antworten
Wir nehmen an, dass a^x / x^k beschränkt ist, dann erhalten wir einen Widerspruch. In der dritten Zeile nutzen wir die Monotonie des natürluchen Logarithmus aus und in der vierten die Ungleichung ln x ≤ x – 1.
a^x / x^k ≤ C
a^x ≤ C x^k
x ln a ≤ ln C + k ln x
x ln a ≤ C –1 + k (x – 1)
x (ln a – k) ≤ C – k – 1
Wenn ln a – k > 0, dann erhalten wir
x ≤ (C – k – 1) / (ln a – k)
Wenn ln a – k < 0, dann erhalten wir
x ≥ (C – k – 1) / (ln a – k)
Rechts steht eine Konstante. Da x beliebig groß werden kann, liegt im ersten Fall also ein Wiederspruch vor. a^x / x^k muss also unbeschränkt sein.
Im zweiten Fall kommen wir nicht weiter. Den betrachten wir nachher.
Das oben gilt natürlich nur, wenn ln a ≠ k. Für den Fall ln a = k erhalten wir nach der dritten Zeile
x ln a ≤ ln C + ln a ln x
(x – ln x) ln a ≤ ln C
x ≤ ln C / ln a + ln x
x ≤ ln C / ln a + x – 1
1 ≤ ln C / ln a = ln C / k
Das ist natürlich nicht für alle natürlichen k wahr. Somit muss aus in diesem Fall a^x / x^k unbeschränkt sein.
Nun zum zweiten Fall, nämlich ln a – k < 0. Das bedeutet, es ist a < e^k.
a^x / x^k = a^x / e^(k ln x)
a^x / e^(k ln x) < e^(k x) / e^(k ln x)
Wegen a > 1 und
e^(k (x – ln x)) —> ∞ (für x —> ∞),
da x+1 – ln(x+1) ≥ x – ln x für x > 1, ist dann auch a^x / x^k für ln a – k < 0 divergent. Wir haben also gezeigt, dass wenn a > 1 der Grenzwert für x —> ∞ von a^x / x^k für alle natürlichrn k divergent ist.
Danke was ich nicht verstehe, ist die Umformung in der dritten Zeile , du sagst du nutzt die Monotonie des Log , also der Schritt C-1 =ln C und x-1 ln x , kann man das irgendwo nachlesen oder kannst du das kurz erklären, der ln ist ja monton steigend für a größer 1 , aber wie komme ich auf c-1
Mit Monotonie meine ich, dass wenn x > y ist, dann auch ln x > ln y ist. Die Ungleichung bleibt bei Nutzung des log also erhalten.
Die Ungleichung ln x ≤ x – 1 gilt wegen
x ≤ e^(x – 1)
ln x ≤ ln(e^x) – ln e
ln x ≤ x – 1
Denn e^x ist mit
1) e^(x + y) = e^x * e^y
2) x + 1 ≤ e^x
definiert. (Das solltest du googeln können.)
Damit gilt natürlich x ≤ e^(x – 1) und somit auch die Ungleichung oben.
du sagst quasi x ln a ≤ ln C + ln a ln x<gleich c-1 +k(x-1)
sorry vertippt meinte ich so , trotzdem nochmal danke
Einfachste Möglichkeit: schau Dir die Potenzreihen-Entwicklung von a^x um x=0 an…
Dann die Ochsentour: z.B. zeigen, dass es für jede natürliche Zahl n ein x_0 gibt, so dass für alle x > x_0 gilt: a^x/x^k > n… :-)
Schliesslich kannst Du k-mal l‘Hospital anwenden, bis als Ergebnis (log a)^k * a^x / k! steht, dies geht gegen Unendlich - hoffentlich hilft das…
Du musst bei deinen Ungleichungen mit den Vorzeichen aufpassen, implizit hast du a>1 angenommen, sonst wird der Logarithmus negativ.