Wenn du eine Funktion g(x, y) hast, die von x und y anhängt, dann ist der Gradient ja gerade der Vektor, der in der ersten Komponente die Ableitung von g nach x hat, und in der zweiten Komponente die Ableitung von g nach y.

Um also von den Gradienten auf eine Funktion g zu schließen, die diesen Gradienten besitzt, musst du also die erste Komponente des Gradienten nach x integrieren sowie die zweite nach y. Dann kommst du auf

1. Komponente des Gradienten nach x integriert:

4 x y² —> 2 x² y² + C(y)

2. Komponente des Gradienten nach y integriert:

4 x² y —> 2 x² y² + Ć(x)

Beachte, dass die "Konstanten" C und Ć immer von Variablen abhängig sein können, nämlich die, nach der >nicht< integriert wurde (z. B. fällt bei der Ableitung nach x von y² x + y –> y² das y weg, wenn man y² integriert kommt man auf y² x + k, also kann die Konstante von y abhängig sein). Wenn du nun beide oberen Terme zusammenfasst, erhälst du

g(x, y) = 2 x² y² + C(y) + Ć(x)

Jetzt vergleichst du den Gradienten von dieser Funktion mit dem Gradienten, der angegeben wurde.

1. Komponente (nach x abgeleitet):

4 x y² + Ć'(x) = 4 x y² => Ć'(x) = 0

2. Komponente (nach y abgeleitet):

4 x² y + C'(y) = 4 x² y => C'(y) = 0

Hieraus folgt, dass C und Ć konstant sind und weder von x oder y abhängen. Fasst man C und Ć zu einer Konstanten c zusammen, folgt das Ergebnis

g(x, y) = 2 x² y² + c.

• Kollinearität (Vektoren): zwei Vektoren sind linear abhängig, also Vielfache voneinander (bei linearer Abhängigkeit von drei Vektoren spricht man dann von Komplanarität).
• Kollinearität (Punkte): Punkte sind kollinear zueinander, wenn sie alle auf der selben Gerade liegen (wenn sie in der selben Ebene liegen, sind sie komplanar).
• Parallelität (Geraden): Geraden sind zueinander parallel, wenn sie sich nur durch eine Verschiebung (Translation) unterscheiden, also die Richtungsvektoren paarweise kollinear sind.
• Parallität (Ebenen): Ebenen sind parallel zueinander, wenn sie sich nur durch eine Verschiebung (Translation) unterscheiden, also die Normalenvektoren paarweise kollinear sind.
• Linearkombination: Eine Summe von Vielfachen von Vektoren nennt man Linearkombination von diesen Vektoren. Da ich hier keine (schön geschriebene) Formel schreiben kann, siehe bitte hier: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Linearkombination (Wären die Koeffizienten nur aus dem Intervall [0; 1], nennt man sie auch Konvexkombination)

a)

Die Hypotenuse des großen Dreiecks ist nach dem Satz des Pythagoras

c² = a² + b² = (9 cm)² + (9 cm)² <=> c = 9√2 cm

Nach dem Kathetensatz ist

h² = c p = 9√2 cm • 9 cm = 81 cm² <=> h = 9⁴√2 cm,

also mit dem Satz des Pythagoras dann

x² = h² + (x/2)² <=> x² = h² + x²/4

<=> 3/4 x² = h² <=> x² = 4/3 h²

<=> x² = 4/3 (9⁴√2 cm)² <=> x = 18√(√2/3) cm ≈ 12.36 cm

Lösche mal alle Variablen, geh dazu auf:

Edit -> Variablen löschen

Versuch es nochmal. Ansonsten alles löschen und sicherstellen, dass du das x auch als Variable eingegeben hast - es gibt einmal den Buchstaben x (unter "abc" im Keyboard) und die Variable x (unter "Var" im Keyboard), was eigentlich fett geschrieben sein müsste.

Da nur Länge und Breite bekannt sind, kommt die Nährrung mittels eines halben Zylinder infrage, also

1/2 • 140 m • (72 m • 1/2)^2 • π ≈ 285005,29 m³.

Falls ihr schon quadratische Funktionen und Integration hattet, könnte man auch den Ansatz machen, mit einer Parabel zu approximieren. Das Volumen wäre demnach

in m³.

Eine Gleichung in der mindestens ein Bruch auftaucht, bei der die Unbekannte im Nenner (also unten im Bruch) steht. Eine Verhältnisgleichung ist das gleiche.

Zum Beispiel:

3 + 2 / (x – 1) = 5 <=> x = 2

Betrachte z. B. eine Dartscheibe, die wir in ein Koordinatengitter legen. Wie wahrscheinlich ist es, dass wir genau den Mittelpunkt der Dartscheibe (z. B. den Ursprung, je nach Lage des KO-Systems) treffen? Das ist ein Punkt von überabzählbar vielen und damit beträge die Wahrscheinlichkeit null. Und das gilt für alle Punkte und trotzdem trifft man einen Punkt. Das liegt daran, dass ein Punkt keine Fläche hat, die Dartscheibe aber schon. Die Frage ist nun, ob wir einen ähnlichen Fall bei deiner Frage haben. Denn dann wäre geklärt, ob es bei einer 100 %-igen Wahrscheinlichkeit, dass kein Leben existiert, es dennoch möglich wäre. Aber das kann ich aktuell selber nicht beantworten. Du solltest nur wissen, dass man bei einer Wahrscheinlichkeit von 0 % man auch nur von einem >fast unmöglichen< und nicht >unmöglichen< Ereignis sprechen kann. Ebenso bei 100 % dann über ein >fast sicheres< Ereignis. Es liegt daran, wie man das Modell aufbaut. Aber hier bin ich selber noch nicht frisch.

Zur ersten und zweiten Beweisskizze:

Wieso folgt daraus, dass diese b_n betraglich größer |b_n|/2 sind?

Das musst du beweisen.

|b_n| + |b| —> 2 |b|

=> für n > N

||b_n| + |b| – |b|| < b_n

|b_n| < e

Per Definition muss nur e > 0 sein, also kannst du auch für e = |b|/2 ein passendes N finden.

Nur zur zweiten Beweisskizze:

Wieso ist |a|²+|b|²<2|b|²? Und wieso sollte das von n abhängen (sind ja Grenzwerte)?

Diese Ungleichung ist nur wahr, wenn |a|<|b| wäre, was aber o.B.d.A. nicht vorausgesetzt werden darf (denn ob man a_n/b_n oder b_n/a_n betrachtet kann sehr wohl unterschiede machen, du hättest vorher also sicherstellen müssen, dass die Folge mit dem betraglich kleineren Grenzwert auch tatsächlich im Nenner ist).

Z. B.

7 ≡ 2² (mod 3)

7 ≡ 4² (mod 3)

7 ≡ 5² (mod 3)

7 ≡ 6² (mod 29)

7 ≡ 7² (mod 7)

7 ≡ 7² (mod 3)

7 ≡ 8² (mod 3)

7 ≡ 8² (mod 19)

7 ≡ 9² (mod 37)

7 ≡ 10² (mod 3)

7 ≡ 10² (mod 31)

7 ≡ 11² (mod 3)

7 ≡ 11² (mod 19)

...

1.)

Wenn p ein Teiler von n und damit n² wäre, wäre

n² – 7 mod p = 7 mod p = D²

und es blieben für D² nur die Quadrate 1² und 2² über (3² oder größer kann nicht sein, da a mod b ≤ a sein kann). Daraus erhält man nur die Lösung p = 2 und p = 3 (wobei p = 2 ausgeschlossen wurde).

2.)

Nun gehen wir davon aus, dass p kein Teiler von n ist, es also natürliche Zahlen l und d gibt mit

n = l • p + d => n² = (l • p)² + 2 • l • p • d + d²

=> n² mod p = d² mod p

Nun sei d² mod p = B nicht weiter durch p teilbar, genauso für 7 mod p = d.

Es folgt also aus n² ≡ 7 (mod p) dann

n² – 7 = K • p

B – b = k • p

mit ganzen Zahlen K und k.

Da B und b nicht weiter durch p teilbar sein, muss |k| = 1 sein, denn wäre |k| ≥ 2 müsse

B + b ≥ |B – d| ≥ 2 p

und nach Voraussetzungen sind B, b < p also wäre das ein Widerspruch. Man kommt also auf |k| = 1 bzw. |B – b| = p.

Sucht man sich nun eine Primzahl p aus, kann man durch berechnen von 7 mod p = b die Zahl B berechnen und damit n konstruieren, falls B eine Quadratzahl (dann sind n = m • p + √B alle Lösungen). Wenn B keine Qaudratzahl ist, kann es aber auch möglich sein - weiter kann ich es aber momentan nicht zeigen.

Auf die erste Nachkommastelle.

Bsp.: 3^(2+4) = 3^2 * 3^4

Ich habe jetzt öfters gelesen, dass du Dyskalkulie hast. Nicht gut im Kopfrechnen zu sein bzw. es so gut wie gar nicht zu können, heißt aber lange nicht kein guter Mathematiker zu sein. Ein guter Mathematiker zeichnet sich durch Kompentenzen aus, die ein Computer nicht erldigen kann - insbesondere gehört dazu Kreativität und Abstraktionsvermögen. Um das aber zu merken, muss man sich häufig mehr mit Mathematik auseinandersetzen als mit dem, was man in der Schule lernt.

Zu deiner ursprünglichen, um man dumm ist, wenn man nicht logisch bzw. mathematisch Denken kann: Nein, du bist nicht "dumm" (außer vielleicht eben im logischen Denken), denn du kannst immer noch eine gute Vorstellungskraft (ist aber meistens auch Teil der Intelligenz bei Mathematikern), gute emotionale Intelligenz (z. B. Empathie, Verkauf von Lügen etc.) oder sprachliche Intelligenz haben. Auch motorisch kann man in gewisser Weise sehr intelligent sein, auch wenn es eher unterbewusst ist (z. B. präzise Bewegungen, die man ohne Übung oder besonderem Talent nicht ausführen kann).

a) 750/1000 • 3 g = 9/4 g

b) 585/1000 • 20 g = 117/10 g

1.

Um den Grenzwert 7/4 nachzuweisen, zeigen wir, dass es wie nach der Definition ein N(ε) gibt, dass von ε abhängt, sodass für alle n ≥ N(ε) die folgende Ungleichung erfüllt ist. Das ermitteln wir nun und schon ist die Korrektheit des Grenzwerts bewiesen.

|(7 n – 2) / (4 n + 3) – 7/4| < ε

|(7 n – 2) / (4 n + 3) – 7/4| < ε

|(7 n – 2 – 7/4 (4 n + 3)) / (4 n + 3)| < ε

|(7 n – 2 – 7 n – 21/4)) / (4 n + 3)| < ε

|(–2 – 21/4)) / (4 n + 3)| < ε

|(–29 / (16 n + 12)| < ε

29 / (16 n + 12) < ε

29/ε < (16 n + 12)

(29/ε – 12) / 16 < n

Damit wäre mit

N(ε) = (32/ε – 12) / 16 = 2/ε – 3/4

ein N gefunden. Für das gilt dann

• N(0,2) = 9,25 => N = 10
• N(1/10³) = 1'999,25 => N = 2'000
• N(1/10⁶) = 1'999'999,25 => N = 2'000'000

Es gibt 5 Transformationsmöglichkeiten, die ich mit a, b, c, d und e bezeichne. Dabei brauchen wir e offensichtlich nicht weiter beachten.

1. a: vertikale Linien ändern sich (sichtbar>unsichtbar, unsichtbar>sichtbar)
2. b: horizontale Linien ändern sich (sichtbar>unsichtbar, unsichtbar>sichtbar)
3. c: Figur ändert sich (Krei>Quadrat, Quadrat>Kreis)
4. d: Größe ändert sich (klein>groß, groß>klein)

Demnach ist die Antwort A.

Ich versuche es mal durch einem Beispiel intuitiv zu vermitteln.

• A: "Es wird fünf plus vier gerechnet."
• B: "Das Ergebnis ist neun."
• A => B: "Wenn fünf plus vier gerechnet wird, dann ist das Ergebnis neun."

Nun untersuchen wir den Fall, dass A falsch ist, es wird also nicht 5+4 gerechnet. Dann kann das Ergebnis jede andere Zahl als 9 sein, z. B. wenn 1+1 gerechnet wird (B ist falsch). Es kann aber auch 9 rauskommen, obwohl nicht 5+4 gerechnet wird, z. B. wenn man 1+8 rechnet (B ist wahr).

In beiden Fällen ist die Implikation wahr, denn nach den Beispielen ist

• 1+1 = 2 (A falsch, B falsch, A => B wahr)
• 1+8 = 9 (A falsch, B wahr, A => B wahr)

aus 1+1 folgt schließlich, dass das Ergebnis 2 ist, und bei 1+8 = 9 ebenso.

Ich hoffe, ich konnte weiter helfen.

Gibt es keinen vorzeichenwechsel beim ausklammern eines negativen Bruches?

Nein, alles im Bruch ist im Prinzip schon ausgeklammert.

Ob du z. B. –(1–a)/2 oder –1/2•(1–a) ist egal, beides ist das gleiche, nur anders notiert.

Hier mal eine beispielhafte Vorrechnung.

a)

ld(b/a) + ld(a^2) = ld(a*b)

ld(b) – ld(a) + 2 * ld(a) = ld(a) + ld(b)

–2 * ld(a) + 2 * ld(a) = 0

ist für alle a und b wahr.

Ja, stimmt.

Sie wird auch bei g(x) und ihren Ableitungen angewandt. Du vergisst nur, dass du auch noch die Kettenregel brauchst, denn –x ist abgeleitet –1, also ändert sich das Vorzeichen, siehe hier:

1 / (1 – x) = (1 – x)^(–1)

Abgeleitet:

(–1) • (1 – x)^(–1–1) • (0 – 1)

= (1 – x)^(–2) = 1 / (1 – x)^2

Dabei ist (0 – 1) = –1 die innere Ableitung, also die Ableitung von (1 – x). Bei f(x) war die innere Ableitung, also die Ableitung von (x + 1), ganz einfach (1 + 0) = 1, hat also nichts geändert.

Anders formuliert:

g(x) = h(k(x)) = 1 / (1 – x)

mit h(y) = 1 / y und k(x) = 1–x.

Nach der Kettenregel gilt

g'(x) = h'(k(x)) • k'(x).

Und es ist h'(y) = –1/y^2 und k'(x) = –1, also

h'(k(x)) = –1 / (x – 1)^2 und damit

g'(x) = –1 / (x – 1)^2 • (–1) = 1 / (x – 1)^2