Unterschied von Parallelität/Kollinearität und Linearkombination?

Ich lerne momentan für einen Mathe test welcher auch über Vektoren handelt, und ich verstehe nicht ganz was der unterschied zwischen Parallelität/Kollinearität und Linearkombination ist, denn wenn ich z.B auf Youtube Lernvideos dazu anschaue, kommt es mir relativ gleich vor außer das vllt. Mal eine vektor mehr oder weniger da ist.

Kann mir bitte jemand den Unterschied erklären, wäre sehr nett Dankeschön :)

Answer 1

[TBDRM]

• Kollinearität (Vektoren): zwei Vektoren sind linear abhängig, also Vielfache voneinander (bei linearer Abhängigkeit von drei Vektoren spricht man dann von Komplanarität).
• Kollinearität (Punkte): Punkte sind kollinear zueinander, wenn sie alle auf der selben Gerade liegen (wenn sie in der selben Ebene liegen, sind sie komplanar).
• Parallelität (Geraden): Geraden sind zueinander parallel, wenn sie sich nur durch eine Verschiebung (Translation) unterscheiden, also die Richtungsvektoren paarweise kollinear sind.
• Parallität (Ebenen): Ebenen sind parallel zueinander, wenn sie sich nur durch eine Verschiebung (Translation) unterscheiden, also die Normalenvektoren paarweise kollinear sind.
• Linearkombination: Eine Summe von Vielfachen von Vektoren nennt man Linearkombination von diesen Vektoren. Da ich hier keine (schön geschriebene) Formel schreiben kann, siehe bitte hier: https://de.m.wikipedia.org/wiki/Linearkombination (Wären die Koeffizienten nur aus dem Intervall [0; 1], nennt man sie auch Konvexkombination)

Woher ich das weiß: Hobby – Mathematik (u. Physik)

Comments

[Laraxlpz]

Vielen vielen Dank!!

Answer 2

[JojoMVP]

Wenn ich noch richtig informiert bin, sind kollineare Vektoren einfach Vielfache von einem anderen, heißt mit einer positiven oder negativen reellen Zahl multipliziert.

Hingegen ist Parallelität der Fall, wenn es sich um Gerade handelt, da Vektoren ja unendlich oft im Raum existieren und keine festen Start bzw. Endpunkte haben. Hingegen verlaufen Geraden ja durch feste Punkte und wenn eine Gerade z.B. um 3 Einheiten auf der x-Achse verschoben ist zu einer anderen, wären sie parallel.

Deshalb kannst Du durch die Kollinearität der Richtungsvektoren die Parallelität der Gerade bestimmen bzw auch, ob diese identisch sind.

Schöne Grüße :)

Comments

[Laraxlpz]

Und was ist der unterschied zu der Linearkombination? Weil das meinte ich eigentlich, hatte es nur etwas blöd formuliert 😅 und wie berechnet man es dann

[JojoMVP]

@Laraxlpz

Die Linearkombination ist einfach a*v1+b*v2+c*v3 usw. Du addierst einfach beliebig viele Vektoren, die jeweils mit einer Konstanten multipliziert werden.

Die Definition in der Uni war grob gesagt: wenn Du einen Vektor v hast, der sich durch andere Vektoren und deren Addition darstellen lässt, hast Du eine Linearkombination.

Bsp: v=(1,2,3)=1*(1,0,0)+2*(0,1,0)+3*(0,0,1).