Maximum/Supremum und Minimum/Infimum?
Wie zeigt man folgende Aussagen?
a) und c) erscheinen mir sehr logisch, für b) fällt mir kein Gegenbeispiel ein, das diese Annahme bestätigt.
a) ist doch irgendwie schon in der Definition enthalten. Wie also sollte man das beweisen? Wenn die Teilmenge aus R beschränkt ist, dann ist freilich das Supremum irgendeine Zahl größer Null (da auch alle Elemente aus A positiv sind). Ist die Menge nicht beschränkt, dann ist die das Supremum der Teilmenge aus R Unendlich.
b) müsste mit einem Gegenbeispiel gehen.
c) Sei a eine beliebige Zahl. Dann ist ja das Intervall [a, unendlich) nicht nach oben beschränkt mit Supremum Unendlich. Deshalb enthält auch [a, unendlich) unendlich viele Zahlen.
1 Antwort
a) zeige dass das Spremum nicht kleiner als 0 sein kann. Nimm dafür einfach an, dass sum(A)=c <0 gilt, und folgere daraus einen Widerspruch (mach das analoge mit -unendlich). Es sollte eigentlich ziemlich einfach sein. Formal gesehen ist die Aussage aber falsch. Das Supremum der leeren Menge ist nämlich -unendlich, sie erfüllt also die linke Seite, die rechte jedoch nicht.
b) fällt dir wirklich keine Menge ein, dessen Maximum 1 und Minimum 0 ist, die ungleich [0,1] ist?
Zur c): es reicht nicht aus, wenn du einfach eine Menge findest die diese Eigenschaft erfüllt. Du musst es für alle zeigen. Nimm stattdessen an, dass a eine beliebige reelle Zahl ist, und dass a das Maximum von C ist. Folgere dann daraus einen Widerspruch, weswegen dann ein größeres Element existieren muss. Das größere Element kann aber wieder nicht das größte sein, es gibt also wieder ein größeres. Und so weiter.
Aus der Def. vom Supremum folgt ja supA >= a, da a>0, muss gelten supA>=a>0, deshalb supA>0 (bzw. oder supA = unendlich > 0)
Korrekt
Gegenbeispiel: B = [0, 1/2) U (1/2, 1]
Korrrekt, du hättest aber auch ein viel simpleres Beispiel nutzen können: {0, 1}
mit Induktion??? Da weiß ich leider wirklich nicht weiter.
Induktion nutzt du nur bei Aussagen, die für ganze zahlen gelten oder ähmlcihes. Hier also nicht. Ich habe dir doch eine Schritt für Schritt Anleitung gegeben, wie du vorgehen sollst.
Kann es sein, dass das Supremum der leeren Menge gar nicht existiert?
Du kannst leicht mit der Definition prüfen, ob -unendlich das Supremum der leeren Menge ist. Und selbst wenn es nicht definiert wäre, wäre Aussage a trotzdem dann falsch, denn etwas was nicht definiert ist, ist ja nicht positiv.
Ja, die Erklärung mit c) kann ich nicht ganz nachvollziehen. Wenn du es mir anders erklären könntest xD
Wie wäre es, wenn du stattdessen sagst, was du nicht verstehst?
a) Aus der Def. vom Supremum folgt ja supA >= a, da a>0, muss gelten supA>=a>0, deshalb supA>0 (bzw. oder supA = unendlich > 0)
b) Gegenbeispiel: B = [0, 1/2) U (1/2, 1]
c) mit Induktion??? Da weiß ich leider wirklich nicht weiter.
Kann es sein, dass das Supremum der leeren Menge gar nicht existiert? Zumindest verwendet es mein Professor so.