Beschränkte Menge ohne Supremum und Infimum?

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5 Antworten

Ob A ein Supremum besitzt oder nicht, hängt davon ab, ob Körper vollständig ist oder nicht. Im Körper der reellen Zahlen besitzt A in jedem Fall ein Supremum, im Körper der rationalen Zahlen nicht unbedingt.

Du meinst, es ist nicht unbedingt in der Menge enthalten.

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Nein, in der Menge enthalten muss es sowieso nicht sein. Betrachte den Körper der rationalen Zahlen und die Menge aller 1-1/x, x>0, das Supremum ist 1, obwohl 1 nicht Element dieser Menge ist. Die Menge aller x mit x^2 <2 hat aber im Körper Q überhaupt kein Supremum, die Menge Q ist nicht vollständig.

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Gesamtmenge X: Menge der reellen Zahlen

Teilmenge A: ein beliebiges beidseitig offenes Intervall

hmm, dachte ich auch erst, aber siehe video

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@HanzeeDent

A hat weder Supremum noch Infimum (als Elemente von A). So hatte ich die Frage verstanden.

Natürlich gehörten die Grenzen von A zur Menge der Reellen Zahlen, also zur Obermenge X.

("Satz von der oberen Grenze für die reellen Zahlen")

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Es gibt aber auch geordnete Mengen, die kein Supremum und/oder Infimum einer beschränkten Teilmenge enthält:

Berüchtigtes Beispiel:

Grundmenge X = Menge der rationalen Zahlen ℚ

Teilmenge A = {x ∈ ℚ | x^2 < 2}

(oder auch - ergibt dieselbe Menge - A = {x ∈ ℚ | x^2 ≤ 2} )

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Ist denn X überhaupt eine geordnete Menge?

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