R sei abgeschlossen bezüglich Supremum und Infimum, warum Q nicht? Also haben Teilmengen von Q kein Supremum bzw Infimum?
R sei abgeschlossen bezüglich Supremum und Infimum, warum N, Z und Q nicht?
1 Antwort
Doch, die Teilmenge besitzen ein Supremum (wenn sie nach oben beschränkt sind).
Für Q kann es jedoch sein, dass das Supremum der Teilmenge nicht in Q ist. Beispiel: das Supremum von {x element Q | x^2<2} ist die Wurzel von 2, und somit nicht in Q. Somit ist die Menge nicht bezüglich dem Supremum abgeschlossen.
Z und N sind jedoch bezüglich dem Supremum abgeschlossen.
Das selbe gilt auch für das infimum.
Aso danke, aber was heißt abgeschlossenheit dann eigentlich? Das ist doch das gleiche wie beschränkt oder?
Es gibt mehrere Äquivalente Definitionen von Abgeschlossenheit:
Eine Menge ist Abgeschlossen, wenn das Komplement offen ist
Oder
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge, dessen folgenglieder alle in der Menge enthalten sind, gilt, dass der Grenzwert auch in der Menge ist
Eine einfache Suche bei Google hätte dir aber auch geholfen:
Und was genau unterscheidet dann z. B. R von Z, N und Q, bezüglich Abgeschlossenheit?