Infimum und Supremum für Cos(x) + sin(x)?
Grüßt euch ihr lieben,
Ich arbeite gerade an einer Aufgabe und wollte das Infimum und Supremum von der Funktion f(X) = sin(x) + cos(x) mit Definitionsbereich [0 , 2Pi] berechnen bzw beweisen.
Ich habe die Lösung, aber kann das irgendwie nicht nachvollziehen. Die Lösung ist wurzel2 für Sup. und -Wurzel2 für Inf. Nach meiner Überlegung sollte doch 1 und -1 für Inf und Sup. rauskommen?
Hat jemand eine Idee?
3 Antworten
Da die Funktion stetig und auf einer kompakten Menge definiert ist, besitzt sie ein Minimum und ein Maximum. Wenn es ein Minimum gibt, ist dieses immer gleich dem Infimum. Wenn es ein Maximum gibt, ist dieses immer gleich dem Supremum. Im Grunde ist also nach dem Minimum und dem Maximum der Funktion f gesucht.
Die Funktion f ist differenzierbar mit f'(x) = cos(x) - sin(x). Die lokalen Extremstellen von f im Intervall ]0; 2π[ sind genau die Stellen, an denen f'(x) = 0 ist.
Demnach sind x = π/4 und x = 5π/4 die einzigen Kandidaten für Extremstellen von f im Intervall ]0, 2π[. Außerdem kommen noch die Ränder des Definitionsbereichs also 0 und 2π als Extremstellen in Frage.
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Nach meiner Überlegung sollte doch 1 und -1 für Inf und Sup. rauskommen?
Nein, das Infimum ist -√(2) und das Supremum ist √(2), wie auch in der Lösung angegeben wurde. Kannst du deine Überlegungen genauer beschreiben, wie du auf 1 bzw. -1 gekommen bist? Evtl. kann ich dir dann helfen den Fehler in deinen Überlegungen zu finden.
Vielen Dank. Durch deine Erklärung ist mir das jetzt alle klar geworden. In der Trigonometrischen Tabelle findet man natürlich auch sofort den Beweis, bin da komplett falsch an die Aufgabe gegangen.
Nein. Sinus und cosinus sind ja gegenläufig. Z.B. ist der sin(0)=0 und der cos(0)=1. Nun ist es so, dass der sin(\pi/4)=cos(\pi/4)=0,5 * \sqrt(2) ist. Da du ja sin und cos addierst, ist 1/2 + 1/2 ja 1 und wegen der \sqrt(2) bleibt diese als Supremum stehen. Das Infinum mit -\sqrt(2) rührt daher, dass sin( 5/4 * \pi)=cos(5/4 * \pi)=-1(2 * \sqrt(2) ist.
Berechne doch mal die Nullstellen der Ableitung.
Danke. Das habe ich, aber bin jetzt genauso schlau wie voher:).
Naja. Was hast du denn als Nullstellen der Ableitung raus, und wie lauten die Funktionswerte der Funktion f an diesen Stellen? Evtl. geht dir dann ein Licht auf, wenn du dich nicht verrechnet hast.
Hier übrigens eine Skizze des Funktionsgraphen, bei dem ich Infimum und Supremum markiert habe: https://i.imgur.com/i98PcUM.png