Denk mal zurück an die Grundschule...

Da gab es schriftliche Division mit Rest. Wenn man da beispielsweise 22 durch 8 dividieren wollte, hat man nicht 2,75 als Ergebnis erhalten, sondern 2 Rest 6. (Da hat man bis auf wenige einfache Fälle mit Geldbeträgen ja evtl. noch gar nichts von Kommazahlen gewusst.)

 22 : 8 = 2  Rest 6
-16
---
  6

Bei diesem Beispiel... Die 8 passt 2-mal in 22 rein (da 2 * 8 = 16 ist, was kleiner als 22 ist). Die 8 passt jedoch nicht 3-mal in 22 rein (da 3 * 8 = 24 ist, was größer als 22 ist).

Wenn man nun von der Zahl 22 die 16 (= 2 * 8) subtrahiert, bleibt noch 6 als Rest. Und dieser Rest 6 lässt sich nicht weiter durch 8 teilen (zumindest nicht ganzzahlig).

Und in Python und vielen anderen Programmiersprachen gibt es nun Operatoren, mit denen man diese Bestandteile 2 und 6 dieses Ergebnisses „2 Rest 6“ der Division von 22 durch 8 mit Rest erhalten kann.

22 // 8 liefert die ganze Zahl 2. Und 22 % 8 liefert den Rest 6 dieser Division mit Rest.

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q = a // b liefert im Grunde die nächste ganze Zahl q, die kleiner oder gleich dem Ergebnis der Division a/b ist.

r = a % b liefert den Rest der Division von a durch b mit Rest. Dies entspricht der Differenz a - (a // b) * b.

Man kann sich das auch so denken... Bei der Zahl a wird die Zahl so oft addiert/subtrahiert, bis man einen Wert r im Intervall [0; b[ erhält (bzw. im Intervall ]b; 0] für negative Zahlen b). Dieser Wert r ist dann der Rest r = a % b. Die Zahl q = a // b gibt an, wie oft die Zahl b dafür zu a addiert bzw. von a subtrahiert werden muss. (Wenn von a subtrahiert werden muss, um zum Rest r zu gelangen, so ist q positiv. Wenn zu a addiert werden muss, um zum Rest r zu gelangen, so ist q negativ.)

Beispiel:

Subtrahiere von 22 so oft die Zahl 8, bis man im Intervall [0; 8[ landet.
1. Subtraktion: 22 - 8 = 14
2. Subtraktion: 14 - 8 = 6
6 liegt nun im Intervall [0; 8[.
Die Zahl 6 ist nun gleich dem Rest 22 % 6.
Da 2-mal subtrahiert werden musste, ist 22 // 8 = 2.

Beispiel:

Subtrahiere von 22.5 so oft die Zahl 8.5, bis man im Intervall [0; 8.5[ landet.
1. Subtraktion: 22.5 - 8.5 = 14.0
2. Subtraktion: 14.0 - 8.5 = 5.5
5.5 liegt nun im Intervall [0; 8.5[.
Die Zahl 5.5 ist nun gleich dem Rest 22.5 % 8.5.
Da 2-mal subtrahiert werden musste, ist 22.5 // 8.5 = 2.
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Das ist kein Charakter aus einem Anime. Soweit ich das sehe, ist das ist ein Original-Charakter des Künstlers まめ猫 (mameneko).

  • Twitter-Profil des Künstlers: https://twitter.com/mameneko_funyaa
  • pixiv-Profil des Künstlers: https://pixiv.me/maeshimashi

Das Bild wurde vom Künstler im Mai 2019 auf Twitter und pixiv unter dem Titel „アクアリウム“ (aquarium) veröffentlicht.

Siehe auch:

  • https://twitter.com/mameneko_funyaa/status/1127910609566162944
  • https://www.pixiv.net/artworks/74981463
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Das Limit mit den (standardmäßig eingestellten) maximal 4300 Ziffern gibt es seit der Python-Version 3.11, ist also noch relativ neu.

Siehe auch: https://docs.python.org/3/library/stdtypes.html#integer-string-conversion-length-limitation

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Das ist jetzt nicht unbedingt ein Grund die Programmiersprache zu wechseln, wenn das dein einziges Problem ist.

Du könntest eine vorige Python-Version verwenden. Oder du könntest einfach das Limit entsprechend anpassen.

Siehe auch: https://docs.python.org/3/library/stdtypes.html#configuring-the-limit

Dementsprechend könntest du beispielsweise...

import sys
sys.set_int_max_str_digits(16000)

... in deinem Python-Skript ergänzen, um das Limit von 4300 auf 16000 Ziffern zu erhöhen. (Bzw. kannst du statt 16000 auch einen anderen Wert deiner Wahl verwenden. Je nachdem, wie groß das Limit sein soll.)

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Bei rot-grün-gefärbten Permanentmagneten ist üblicherweise...

... der Nordpol rot eingefärbt.
... der Südpol grün eingefärbt.

Mit der „Drei-Finger-Regel“ für die Lorentzkraft kann man dann bei der Aufgabe die fehlende Polung (Nordpol/Südpol bzw. Pluspol/Minuspol) bestimmen.

Richte die rechte Hand so aus, dass der Daumen in Stromrichtung (von Pluspol zu Minuspol), der Zeigefinger in Magnetfeldrichtung (von Nordpol zu Südpol) und der Mittelfinger in Richtung der Lorentzkraft (und dementsprechend in Richtung der Auslenkung der Leiterschaukel) zeigt.

[Bild: https://o.quizlet.com/vyXvGvCeJhKhvQkLb9Nwhw.png]

Bei Teilaufgabe a) muss beispielsweise der Zeigefinger nach oben zeigen und der Mittelfinger nach links-vorne zeigen. Der Daumen zeigt dann nach rechts-vorne. Entsprechend dieser Stromrichtung ist dann auf der linken Seite der Pluspol und auf der rechten Seite der Minuspol.

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Entsprechend dem trigonometrischen Pythagoras gilt



und dementsprechend



Dies kann man bei (a) nutzen, nachdem man sin(x) ausgeklammert hat.









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Aus den Additionstheoremen erhält man die folgende Formel für doppelte Winkel beim Sinus:



Den Tangens kann man folgendermaßen durch Sinus und Kosinus ausdrücken:



Und um bei Brüchen zu addieren, sollte man sie zunächst auf den gleichen Nenner bringen.

Damit erhält man dann...

















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Also ich kann den Fehler gerade nicht nachvollziehen. Ich habe das gerade an meinem PC [mit der TI-Nspire™ CX CAS Student Software Testversion (Version: 5.4.0.259)] nachgestellt, und dabei keine entsprechende „false“-Meldung erhalten...

Zuerst hatte ich vermutet, dass das „,a,c“ vielleicht versehentlich in die Zeile von f1(0) = -9/16 geschrieben wurde. Dann würde aber wohl eher ein Fenster mit „Fehler: Syntax“ erscheinen, statt dass man ein „false“ zurückerhält.

Ich würde versuchen, das Programm neuzustarten und alles nochmal neu in einem neuen Dokument einzugeben. So nach dem Motto „Have you tried turning it off and on again?“. Was besseres fällt mir da leider gerade nicht ein.

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Ich würde zunächst die Gesamtimpedanz (= gesamter komplexer Wechselstromwiderstand) berechnen, und damit dann zusammen mit der Gesamtspannung die Gesamtstromstärke berechnen.

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Die Impedanz der Induktivität L ist...



Die Impedanz der Kapazität C ist...



Bei dem Potentiometer wird der Anteil λ des Widerstands R verwendet, der Rest kurzgeschlossen. Für den verwendeten Anteil erhält man die Impedanz...



Als Gesamtimpedanz erhält man nun...



Im konkreten Fall soll λ = 0 sein und dementsprechend Z[R] = 0 sein.







Für den entsprechenden Scheinwiderstand erhält man dann...



Für die gesuchte Stromstärke erhält man dann...







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Ich würde das alles erst einmal in die gleiche Dezimalbruchdarstellung umwandeln, damit man die Größen besser vergleichen kann...



 





Nebenrechnung [NR]:

 50 : 7 = 7,1...
-49
---
  10
  -7
  --
   3...

Wenn man die Zahlen nun sortiert erhält man...





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Das wird oft „dagger“ (engl. für Dolch, weil es auch quasi ein Dolch ist und in LaTeX beispielsweise mit \dagger erzeugt werden kann) gesprochen.



... wird also oft als „A dagger“ gelesen, und bezeichnet den zu A adjungierten Operator. [Manche deutsche Physiker übersetzen das entsprechend ins Deutsche und sprechen dann „A Dolch“. Aber die meisten bleiben eher bei der englischen Bezeichnung.]

Bzw. wird das ansonsten eben auch einfach als „der zu A adjungierte Operator“ oder „A adjungiert“gelesen.

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Kennst du die Regel von L'Hospital? Diese Regel könnte man hier anwenden.



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Ansonsten könnte man auch die Reihenentwicklung der cos-Funktion verwenden...















Bzw. mit „Pünktchenschreibweise“ ist das vielleicht für dich etwas ersichtlicher...











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Bedenke, dass man multiplikativ eine Einheitsmatrix ergänzen kann...



Nun zurück zur Gleichung in deiner Frage...
[Ich multipliziere erst am Ende mit 5, nachdem ich die anderen Umformungen durchgeführt habe. Man könnte aber natürlich auch zuerst mit 5 multiplizieren.]





Subtrahiere Mv...



Ergänze eine Einheitsmatrix...



Klammere v aus...







Multipliziere mit 5...





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Ich würde da beispielsweise folgendermaßen abschätzen...

Eine Schwierigkeit besteht vielleicht darin zu erkennen, dass man bei den beiden Summanden (nach der Dreiecksungleichung) unterschiedlich abschätzen kann. Beim einen Summanden 1 + x² ≥ 1 und beim anderen Summanden 1 + y² ≥ 1.

Eine andere Schwierigkeit besteht vielleicht darin, zu erkennen, dass beim Abschätzen von |x|/(1 + x²) eine Fallunterscheidung [einmal für kleine Beträge von x und einmal für große Beträge von x] sinnvoll sein kann. Man könnte stattdessen aber auch die durch den Funktionsterm |x|/(1 + x²) gegebene reelle Funktion betrachten und mit Differentialrechnung das Maximum bestimmen.

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Je nachdem, wie weit ihr bei der Differentialrechnung seid [insbesondere bei Differentialrechnung mit mehreren Veränderlichen], könntest du auch die absoluten Extrema der Funktion...



... mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen. Da könnte man dann darauf kommen, dass das absolute Minimum bei der Stelle (-1/√(3), -1/√(3)) liegt und den Wert -3√(3)/8 hat, und dass das absolute Maximum bei der Stelle (1/√(3), 1/√(3)) liegt und den Wert 3√(3)/8 hat. Dementsprechend gilt dann für alle x, y ∈ ℝ die Abschätzung...



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Kann mir jemand weiterhelfen welche Formeln ich dafür benötige und wie ich die Rechnung aufbauen muss?

Neben grundlegendem logischem Verständnis braucht man im Grunde nur die Formel...



Kurz...



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Berechne die beiden Einzelzeiten. Dann erhält man die Gesamtzeit als Summe der beiden Einzelzeiten.

Die Gesamtstreckenlänge ist gleich der doppelten Einzelstreckenlänge.

Die gesuchte Durchschnittsgeschwindigkeit erhält man dann als Quotient Gesamtstreckenlänge/Gesamtzeit.

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Gegeben:







Rechnung...











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Wenn man das nicht direkt mit den gegebenen Werten rechnet, sondern erst einmal etwas allgemeiner, kann man feststellen, dass bei gleicher Streckenlänge (wie hier: Hinweglänge = Rückweglänge) die gesamte Durchschnittsgeschwindigkeit gleich dem harmonischen Mittel der einzelnen Durchschnittsgeschwindigkeiten ist.



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Das ist egal. Denn die Multiplikation ist kommutativ.

Beispielsweise ist 6 ⋅ 5 ⋅ 2 = 5 ⋅ 2 ⋅ 6. Die beiden Terme 6 ⋅ 5 ⋅ 2 und 5 ⋅ 2 ⋅ 6 sind äquivalent zueinander (und beide ergeben jeweils 360).

Und genauso ist es hier auch: Die Funktionsgleichungen f(x) = (x + 2) ⋅ (x + 1) ⋅ (x - 2) und f(x) = (x + 1) ⋅ (x - 2) ⋅ (x + 2) sind äquivalent zueinander.

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Es gibt da vor allem zwei Aspekte, die ich als Unterschiede nennen würde:

  • Urbilder gibt es auch dann, wenn es keine Umkehrabbildung gibt. (Nicht jede Abbildung hat eine Umkehrabbildung.)
  • Bei einer umkehrbaren Abbildung f: DZ bildet die Umkehrabbildung f⁻¹: ZD Elemente von Z auf Elemente von D ab. Beim Urbild erhält man hingegen zu jeder Teilmenge M von Z eine entsprechende Teilmenge f⁻¹(M) von D als Urbild.

====== Beispiel 1 ======



Diese Abbildung ist nicht injektiv, da beispielsweise f(2) = f(-2) ist, obwohl 2 ≠ -2 ist. Dementsprechend ist diese Abbildung auch nicht bijektiv. Es existiert keine Umkehrabbildung.

Jedoch existiert zu jeder Teilmenge B der Zielmenge ℤ eine entsprechende Urbildmenge



Beispielsweise ist...









------------

Merke: Es gibt zu jeder Abbildung f: DZ eine Abbildung f⁻¹: P(Z) → P(D), welche jeder Teilmenge MZ jeweils das entsprechende Urbild f⁻¹(M) = {xD | f(x) ∈ M} zuordnet.

======Beispiel 2======

Wenn es eine Umkehrabbildung f⁻¹: ZD gibt...

Dann erhält man zu jeder einelementigen Teilmenge {b} ⊆ Z immer eine einelementiges Urbild f⁻¹({b}) = {a} ⊆ Z. Des Weiteren ist dann beim Urbild genau dann f⁻¹({b}) = {a}, wenn bei der Umkehrabbildung f⁻¹(b) = a ist.

Beispiel:



Hier gilt beispielsweise bei der Umkehrabbildung...







Und für die entsprechenden Urbilder gilt...







Da merkt man doch: Bis auf die Mengenklammern gibt es in diesen Beispielen da quasi keinen Unterschied. Daher nimmt man für beides [Umkehrabbildung und Urbilder] auch die gleiche Bezeichnung f⁻¹. Ob man dann in einem konkreten Fall die Umkehrabbildung oder Urbilder betrachtet, kann man trotzdem noch daran erkennen, ob mit Elementen oder mit Mengen gearbeitet wird.

Des Weiteren gilt in meinem Beispiel bei den Urbildern beispielsweise...



[Bei den Urbildern kann man das Urbild einer beliebige Teilmenge der Zielmenge erhalten. Man muss sich nicht unbedingt auf einzelne Elemente beschränken.]

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Nein, die kann ich nicht lösen, da ich nicht weiß, was eine „braue“ Fläche sein soll.

Vermutlich ist aber „braune“ Fläche gemeint. Dann kann man so vorgehen...

Eine Kreisringfläche mit innerem Radius r[i] und äußerem Radius r[a] kann man als eine Kreisfläche mit Radius r[a] sehen, von der eine Kreisfläche mit Radius r[i] subtrahiert wird. Dementsprechend erhält man dann für den Flächeninhalt...



Die braune Fläche setzt sich nun aus einigen Teilflächen zusammen...

  • Eine Kreisfläche mit Flächeninhalt A₁ = π ⋅ (1 cm)².
  • Eine Kreisringfläche mit Flächeninhalt A₂ = π ⋅ (2 cm)² - π ⋅ (1 cm)².
  • Eine Kreisringfläche mit Flächeninhalt A₄ = π ⋅ (4 cm)² - π ⋅ (3 cm)².
  • Eine Kreisringfläche mit Flächeninhalt A₆ = π ⋅ (6 cm)² - π ⋅ (5 cm)².

Insgesamt erhält man dann für den gesamten Flächeninhalt der braunen Flächen...









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Du verwendest vor der Mathematik-Umgebung noch ein „\\“ für eine neue Zeile. Allerdings beginnt die mit „\[“ eingeleitete Mathematik-Umgebung von sich aus wiederum automatisch eine eigene Zeile, in der die Formel steht. Dementsprechend ist zwischen „\\“ und „\[“ eine leere Zeile im Dokument, was zu dieser Warnung mit der „underfull \hbox“ führt. (Da beschwert sich das LaTeX-System, dass es nichts hat, was es in die Zeile schreiben kann.)

Willst du denn eine entsprechende leere Zeile? Warum? Ansonsten solltest du eher auf die „\\“ verzichten.

By help of the time derivative of
\[
v = R \cdot \dot{\phi}
\]
we can substitute
\[
\ddot{\phi}R = \dot{v}-\dot{R}\dot{\phi} = \dot{v}-\frac{v\cdot w}{R}
\]
Finally, we get
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