

Die notwendige Bedingung ist, dass die erste Ableitung 0 ist, dies ist ja klar. Nun setzt du die gefundene Stelle x0 in alle weiteren Ableitungen ein, bist du die erste findest, die ungleich 0 ist. Hat diese Ableitung eine gerade Nummer (also zweite, vierte usw. Ableitung), dann ist es eine Extremstelle, ansonsten nicht.
Beispiel: f(x) = x^4.
Aus 0 = f'(x) = 4 * x^3 folgt x = 0 als notwendige Bedingung.
Es ist f''(x) = 12 * x^2, also f''(0) = 0, hier weiß man noch nichts.
Es ist f'''(x) = 24 * x , also f'''(0) = 0, immer noch nichts.
Nun ist aber f''''(x) = 24, also f''''(0) = 24 <> 0. Die erste von 0 verschiedene Ableitung ist die vierte Ableitung, vier ist gerade, also ist eine Extremstelle. Wegen 24 > 0 weißt du sogar, dass es ein Minimum ist (bei < 0 ein Maximum).
p.s. Diesen von mir dargestellten Sachverhalt kann man mit dem Satz von Taylor mit Restglied nach Lagrange beweisen.